Si $a^4+b^4+c^4+d^4=4$ así que $\sum\limits_{cyc}\frac{a^3}{bc}\geq4$

Question

Dejemos que $a$ , $b$ , $c$ y $d$ sean números positivos tales que $a^4+b^4+c^4+d^4=4$ . Demuestra que: $$\frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{cd}+\frac{c^3}{da}+\frac{d^3}{ab}\geq4$$

Probé con C-S, BW y más, pero sin éxito.

Answer 1

Sabemos que $$a^8 b^4 c^4 + b^8 c^4 d^4 + c^8 d^4 a^4+d^8 a^4 b^4 \leq 4.$$ (ver esta pregunta para una prueba)

Por la desigualdad de la media ponderada generalizada tenemos: \begin {align} \left ( \frac {a^8 b^4 c^4 + b^8 c^4 d^4 + c^8 d^4 a^4+d^8 a^4 b^4}{a^4+b^4+c^4+d^4} \right )^{ \frac {1}{4}} & \geq \frac {a^5bc+b^5cd+c^5da+d^5ab}{a^4+b^4+c^4+d^4} \\\\ \Rightarrow 4 \left ( \frac {a^8 b^4 c^4 + b^8 c^4 d^4 + c^8 d^4 a^4+d^8 a^4 b^4}{4} \right )^{ \frac {1}{4}} & \geq a^5bc+b^5cd+c^5da+d^5ab \\\\ \Rightarrow 4 & \geq a^5bc+b^5cd+c^5da+d^5ab \\\\ \Rightarrow \frac {a^4+b^4+c^4+d^4}{a^5bc+b^5cd+c^5da+d^5ab} & \geq 1. \end {align}

Dejemos que $f\colon \mathbb R_{> 0} \rightarrow \mathbb R$ se define por $f(x):= \frac{1}{x}$ . Desde $f$ es convexo, tenemos por la desigualdad de Jensen: \begin {align} \frac {1}{4} \sum\limits_ {cyc} \frac {a^3}{bc} &= \sum\limits_ {cyc} \frac {a^4}{a^4+b^4+c^4+d^4} f(a b c) \\ & \geq f \left ( \sum\limits_ {cyc} \frac {a^5 b c}{a^4+b^4+c^4+d^4} \right ) \\ &= \frac {a^4+b^4+c^4+d^4}{a^5bc+b^5cd+c^5da+d^5ab} \\ & \geq 1. \end {align}

Answer 2

Veo una prueba por สนอง ห้วยเรไร: Tenemos: $$\sum_\limits{cyc}a\leq\sum_\limits{cyc}a^2$$ y $$abc+bcd+cda+dab$$$$\leq ab+bc+cd+da $$$$\leq a^2+b^2+c^2+d^2\leq 4$$ Así que: $$\sum_\limits{cyc}\frac{a^3}{bc}=\sum_\limits{cyc}\frac{a^4}{abc}$$$$\geq\frac {( \sum_\limits {cyc}a^2)^2}{ \sum_\limits {cyc}abc} $$$$\geq\frac{(\sum_\limits{cyc}a^2)^2}{\sum_\limits{cyc}ab}$$$$\geq 4 \frac { \sum_\limits {cyc}ab}{ \sum_\limits {cyc}ab}=4$$