¿Única métrica para el modelo hiperbólico de plano medio?

Question

Estaba leyendo hoy que no hay una única métrica (hasta multiplicativo constante) que preserva distancias wrt lineal fraccional transformaciones: $$z \mapsto \frac{az + b}{cz + d}$$ de la mitad superior complejo plan para sí ($a, b, c, d \in \mathbb{R}$). Esta métrica es hiperbólica distancia.

Me gustaría leer la prueba del resultado. Paradero puedo encontrar? O te agradecería un boceto de por qué es verdad. Me pregunto si es el tipo de cosa que "adivinar" la métrica hiperbólica y, a continuación, probar que es único; o si de alguna manera se construyen a partir del conjunto de transformaciones.

Gracias.

Answer 1

En primer lugar, tenga en cuenta que la transformación de la regla define una acción de $GL_+(2, \Bbb R)$ (el grupo de $2 \times 2$ real de las matrices con determinante positivo) en la mitad superior del plano, es decir, a través de $$\pmatrix{a & b\\c & d} \cdot z := \frac{a z + b}{c z + d}.$$ Para cualquier transformación, si tenemos la escala de cada una de las $a, b, c, d$$\lambda \in \Bbb R - \{0\}$, la transformación es invariable, y la cantidad de $a d - b c$ escalas por un factor de $\lambda^2$; por lo tanto, no perdemos nada por restringir nuestra atención a las transformaciones para que $a d - b c = 1$, es decir, considerando sólo la restricción de nuestra acción a $SL(2, \Bbb R)$.*

Así, ahora estamos buscando una métrica invariante bajo las $SL(2, \Bbb R)$-acción en $\Bbb H$. En particular, debe ser invariante bajo la isotropía de la acción en cualquier momento. Directo cálculo muestra que la isotropía del subgrupo en el punto conveniente $i \in \Bbb H$ es $$\left\{\pmatrix{a & -b \\ b & a} : a^2 + b^2 = 1 \right\} \cong SO(2);$$ the isotropy action thus preserves a unique inner product (up to scale) on the tangent space $T_i \Bbb H$, y algunos cálculos muestran que $$dx\vert_i^2 + dy\vert_i^2 = dz\vert_i \,d\bar{z}\vert_i$$ es un producto interior (aquí, $x, y$ están las coordenadas reales en $\Bbb C$, es decir, aquellos que se caracteriza por $z = x + i y$). Tirando de esta métrica espalda arbitraria por elementos de la $g \in SL(2, \Bbb R)$ da que la métrica $$\color{#bf0000}{\frac{dx^2 + dy^2}{y^2} = \frac{dz \,d\bar{z}}{(\Im z)^2}},$$ la costumbre métrica hiperbólica, es invariante bajo $SL(2, \Bbb R)$.

Comentario *Dada una transformación con los coeficientes de $a, b, c, d$, la transformación con $-a, -b, -c, -d$ define la misma transformación, por lo que el $SL(2, \Bbb R)$-acción, de hecho, desciende a una acción de $PSL(2, \Bbb R) = SL(2, \Bbb R) / \{\pm I\}$, y esta última acción es fiel. Es a menudo más conveniente, sin embargo, trabajar con $SL(2, \Bbb R)$, cuyas entradas son de buena fe de las matrices, a costa de un poco de redundancia.

Answer 2

Si $g$ es la métrica hiperbólica de curvatura $-1$ en $\mathcal{H}\colon = \{ \mathcal{Im} z > 0\}$, $g = \frac{d x^2+ d y^2}{y^2}$, entonces es fácil mostrar que $g$ es invariante bajo todas las transformaciones $z \mapsto \frac{az + b}{c z +d}$ donde $a,b,c,d$ real y $ad - b c >0$. Queremos que la singularidad de los invariantes de las métricas. Deje $g'$ ser cualquier otra métrica de Riemann en $\mathcal{H}$. Entonces existe una única función de $\phi>0$, de modo que $g' = \phi\cdot g$. Deje $T$ ser cualquier diffeomorphism de $\mathcal{H}$. A continuación,$T^{*} g'= T^{*} (\phi \cdot g) = T^{*}\phi \cdot T^{*}g $. Supongamos ahora que $T$ es lineal fraccional de transformación como el anterior. Entonces $T^{*} g = g$ ( $g$ es invariante). Por lo tanto, para tener $g'$ invariantes bajo todos lineal fraccional transforma debemos tener $\phi$ invariante. Desde el grupo $GL(2,\mathbb{R})_{+}$ actúa transitivamente sobre $\mathcal{H}$, esto implica $\phi$ constante.

$\bf{Added:}$ Vamos a demostrar que la métrica $$\frac{d x^2 + d y^2}{y^2}$$ es invariante.

Lo mejor es usar el complejo de coordenadas: $$\frac{d x^2 + d y^2}{y^2}= \frac{d z \,d \bar z}{(\mathcal{Im} z)^2}$$

Deje $z'= T z = \frac{az + b}{cz + d}$ donde $a,b,c,d \in \mathbb{R}$. Tenemos $$z' - \bar z' = \frac{az + b}{cz + d}- \frac{a\bar z + b}{c\bar z + d}= \frac{(ad - b c) ( z - \bar z)}{|c z + d|^2} $$ así $$\mathcal{Im} z' = \frac{(ad - b c)\mathcal{Im} z}{|c z + d|^2}$$ mientras \begin{eqnarray} d z' = \frac{(a d - b c) d z}{(c z + d)^2} \\ d \bar z' = \frac{(a d - b c) d \bar z}{(c\bar z + d)^2} \end{eqnarray}

Poner todos juntos llegamos a la conclusión de que $\frac{d z \,d \bar z}{(\mathcal{Im} z)^2}$ es invariante bajo la transformación de $T$.