Cinco dimensiones vacío Anuncios de$_5$ espacio tiene una masa de $$ E = \frac{3 \pi \ell^2}{32 G}. $$
Es la ecuación de arriba correcta?
Vamos a hacer algunos análisis dimensional para confirmar. En unidades naturales, en 5 dimensiones $[G] = -3$ donde $[...]$ es la masa de la dimensión. También se $[\ell]=-1$. Por lo tanto,$\left[ \frac{\ell^2}{G} \right] = 1$. Así que las dimensiones parecen funcionar bien.
Aquí está mi segunda pregunta:
El límite de $\ell \to \infty$ $AdS_5$ espacio es espacio plano. ¿No es extraño que la masa se aparta en este límite? Me gustaría han supuesto que la masa debe desaparecer en este límite, ya que los planos del espacio ha de fuga en masa? Estamos utilizando dos definiciones diferentes de la masa?
EDIT: Debido a algunas peticiones en los comentarios, voy a incluir la derivación de la fórmula de arriba.
Yo uso el límite del tensor de tensiones dadas por Brown-York (derivada de la de Einstein de acción junto a los Gibones-Hawking límite de plazo. $$ t_{ij} = \frac{1}{8\pi G} \left[ K_{ij} - \gamma_{ij} K + \frac{2}{\sqrt{-\gamma}} \frac{\delta S_{ct}}{\delta \gamma^{ij}} \right] $$ Aquí $K_{ij} = \nabla_{(i} n_{j)}$ es la curvatura extrínseca. $n^\mu$ es la unidad vector normal a la frontera. $\gamma$ es el límite de la métrica y $K = \gamma^{ij} K_{ij} $. $S_{ct}$ es el counterterm de acción se incluye para hacer que todos los B-Y los cargos finito, que se define como $$ Q_\xi = \int_{\cal B} d^d x \sqrt{\sigma} u^i \xi^j t_{ij} $$ Aquí $\sigma_{ab}$ es la métrica de un espacio hipersuperficie y $u^i$ es un tiempo-como el vector unitario normal a la hipersuperficie. $\xi^j$ es Matar a un vector de la frontera métrica.
Ahora, para $AdS_5$, el counterterm acción está dada por $$ S_{ct} = -\frac{3}{\ell} \int d^4 x \sqrt{-\gamma} \left( 1 + \frac{\ell^2}{12} R(\gamma) \right) $$ El B-Y tensor es entonces $$ t_{ij} = \frac{1}{8\pi G} \left[ K_{ij} - \gamma_{ij} K - \frac{3}{\ell} \gamma_{ij} + \frac{\ell}{2} \left( R_{ij} - \frac{1}{2} \gamma_{ij} R \right) \right] $$ Ahora podemos trabajar en el Fefferman-Graham coordenadas para $AdS_5$ espacio donde la métrica es $$ ds^2 = \frac{\ell^2 d\rho^2}{4\rho^2} - \frac{(1+\rho)^2}{4\rho} dt^2 + \frac{\ell^2 ( 1 - \rho)^2}{4\rho} d\Omega_3^2 $$ Así $$ t_{ij} = - \frac{ \rho }{4\ell \pi G} \left( \gamma_{ij}^{(0)} + \gamma_{ij}^{(2)} \right) + {\cal O}(\rho^2) $$ donde $$ \gamma_{ij}^{(0)} dx^i dx^j = -\frac{1}{4} dt^2 + \frac{\ell^2}{4} d \Omega_3^2 $$ $$ \gamma_{ij}^{(2)} dx^i dx^j = - \frac{1}{2} dt^2 - \frac{\ell^2}{2} d \Omega_3^2 \\ $$ También tenemos $$ u = \frac{2 \sqrt{\rho}}{1+\rho} \partial_t,~~ \xi = \partial_t,~~\sqrt{\sigma} = \frac{\ell^3 (1 - \rho)^3 }{8 \rho^{3/2} } \sin^2\theta \sin \phi $$ Conectar a todo esto, nos encontramos con que el B-Y cargo correspondiente a la Matanza de vectores $\partial_t$ es $$ Q_t = \frac{3 \pi \ell^2 }{32 G} $$ Aquí es donde tengo la fórmula. Yo interpreto esto como la masa de $AdS_5$ espacio.
Descargo de responsabilidad - he intencionalmente dejada a cabo varios cálculos para reducir la duración del problema. No he mencionado el papel y todos los cálculos se han hecho por mí.
