Cálculo del homomorfismo del álgebra de Lie a partir del homomorfismo del grupo de Lie

Question

Estoy bastante atascado en la siguiente pregunta (tomada del libro Lie groups and introduction to linear groups de Rossman W.):

He encontrado algunas pistas, pero creo que me falta entender bien lo que hay que hacer aquí.

Si no recuerdo mal, la relación entre los grupos de mentiras homomorfismo $T$ y su homomorfismo de álgebra de mentira $\tau$ es $\tau(X) = \frac{d}{dt} T(e^{tX})|_{t=0}$ cuando en este caso $ X \in gl(n,\mathbb{R})$ . Pero entonces, debe aparecer algún factor que implique la función de exponente. Por otro lado, la derivada de $f(x)$ es $$\displaystyle \sum_{i} \xi_i ' \frac{\partial f}{\partial\xi_i}$$ ¿entonces debería ser una especie de regla en cadena?

En (b) tengo un problema similar - parece que tengo que "bajar" a $so(3)$ y utilizar sus matrices base, pero no estoy seguro de cómo justificarlo.

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Se trata exactamente de la regla de la cadena : $\tau(Y)f(x) = \dfrac{d}{dt}_{\vert t=0}T(e^{tY})f(x)=\dfrac{d}{dt}_{\vert t=0}f(e^{-tY}x)$ .

Si escribe $\phi(t)=e^{-tY}x$ entonces $$\phi'(t)=-Yx=-\sum_{i,j=1}^nY_{ij}\xi_je_i$$ y se obtiene $$\tau(Y)f(x) = df_{x}(-Yx)=-\sum_{i,j=1}^n\frac{\partial f}{\partial \xi_i}(x)Y_{ij}\xi_j.$$

Puedes ver $\tau$ como el diferencial de $T:GL(n,\mathbb R)\rightarrow GL(F)$ en el elemento de identidad $I_n$ .

Diciendo que $f\in \mathbb R[\xi_1,\xi_2,\xi_3]$ es invariante bajo la acción de $SO(3,\mathbb R)$ significa que la restricción de $\tau$ al álgebra de Lie de $SO(3,\mathbb R)$ es el mapa lineal nulo ya que $$\forall X\in so(3), \forall t\in \mathbb R, \quad T(e^{tX})f(x)=f(x).$$

Y como has dicho, el álgebra de la mentira $so(3)$ tiene una base natural $$so(3)=<\begin{pmatrix} 0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}>=<A,B,[A,B]>$$ Si comprueba la fórmula de la pregunta $(a)$ con una de estas tres matrices, obtendrás exactamente las tres relaciones esperadas.