¿Qué tiene de malo esta propuesta de resolución de la paradoja de San Petersburgo?

Question

Tenemos un juego donde su pago es $2^k$ donde $k$ es el número de veces que lanzas una moneda y sale cara (si la primera vez sale cara, entonces $k=1$ ). Entonces el pago esperado es: $$E = \frac{1}{2}(2) + \frac{1}{4}(4) + \frac{1}{8}(8)+...$$ $$E=1+1+1+...$$ $$E=\infty$$

¿Cuánto hay que pagar para jugar a este juego?

Bien sabemos por la distribución geométrica que el número esperado de monedas que lanzaré hasta obtener cara es:

$$\frac{1}{P(HEAD)} = \frac{1}{.5}=2$$

Así que voy a pagar nada menos que $2^k$ con $k=2$ :

es decir, < 4 dólares

https://en.wikipedia.org/wiki/St._Petersburg_paradox como referencia

Answer 1

• Sea $K$ sea una variable aleatoria.

  • En tu problema, $K$ es el número de veces que volteas antes de obtener cara.

• Sea $f(k)$ sea una función de pago.

  • En su problema $f(k) = 2^k$ .
• Sea $f(K)$ sea el resultado

¿Estás diciendo que una valoración razonable de la apuesta $f(K)$ viene dado por $f(\mathrm{E[}K])$ . Se trata de una heurística totalmente ad hoc y carente de principios. Quizá esté bien en algunas situaciones (por ejemplo, cuando $K$ es pequeño y $f$ casi lineal), pero es fácil construir un ejemplo en el que sugiera algo sin sentido.

Ejemplo en el que su sistema no tiene ningún sentido

Sea $K$ sea un extracto de la distribución normal $\mathcal{N}(0,10000000000000)$ y que la función de pago sea $f(K) = K^2$ . Su sistema dice que no debo pagar más de $0$ para esta apuesta porque $f(\mathrm{E}[K]) = 0^2 = 0$ . ¡¿Pero no deberías asignar algún valor positivo a esta apuesta?! Hay un 100% de probabilidad de que la ganancia sea mayor que cero.

Una resolución más clásica de la paradoja de San Petersburgo

Un enfoque consiste en añadir la aversión al riesgo. Si tienes suficiente aversión al riesgo, lo que estás dispuesto a pagar por jugar a este juego de expectativas infinitas será finito. Si acepta el Axiomas de Von Neumann-Morgernstern entonces el equivalente de certeza de jugar el juego viene dada por $z$ donde:

$$u(w + z) = \mathrm{E}[ u(w + f(K)) ] $$

y donde $w$ es su riqueza y $u$ es una función cóncava (en la jerga, una función de utilidad de Bernoulli) que refleja tu nivel de aversión al riesgo. Si $u$ es suficientemente cóncava, la valoración de $2^K$ será finito.

Una función de utilidad Bernoulli con algunas buenas propiedades resulta ser $u(x) = \log(x)$ . Maximizar utilidad esperada donde la función de utilidad Bernoulli es el logaritmo de tu riqueza es equivalente a maximizar la tasa de crecimiento esperada de tu riqueza. Para las apuestas binarias simples, esto nos da Criterio Kelly apostando.

Otro punto importante es que el enfoque de la aversión al riesgo conduce a diferentes equivalentes de certeza dependiendo del lado de la apuesta en el que nos encontremos.

Answer 2

No hay nada malo en esa propuesta de resolución.

En la paradoja original nos fijamos en el valor esperado (media) del beneficio, que es infinito y, por lo tanto, deberías apostar una cantidad infinita. Sin embargo, después del primer lanzamiento de la moneda hay un 50% de posibilidades de que hayas perdido dinero y por eso a la gente no le gusta. Tu resolución sólo formaliza esto, en lugar de mirar el beneficio medio estás mirando el beneficio medio. A diferencia del beneficio medio, el beneficio medio es finito y la paradoja desaparece.

Answer 3

Si he entendido bien, su análisis es:

1. Calcula el número esperado de lanzamientos de moneda necesarios para obtener una cara.
2. Calcule el pago para el resultado en el que obtiene exactamente el número esperado.
3. Valora el juego igual a ese pago.

...Bien, modifiquemos un poco ese juego. Igual que en la versión original, lanzaré una moneda al aire y seguiré lanzándola hasta que salga cara. Sólo los pagos han cambiado:

• Si salgo cara en la segunda tirada, te llevas cuatro dólares.
• En cualquier otro resultado, pierdes todo lo que tienes y tienes que venir a trabajar para mí para siempre, gratis.

¿Cuántas monedas debemos lanzar antes de obtener una cara? 2, exactamente igual que antes.

¿Cuál es el pago para el resultado en el que lanzamos dos monedas para obtener una cara? 4,00 dólares, exactamente lo mismo que antes.

¿Cuánto estarías dispuesto a pagar por el "privilegio" de pagar este juego que tiene un 75% de posibilidades de llevarte a la quiebra y un 25% de devolverte 4 dólares?

Sospecho que la respuesta no es "hasta cuatro dólares, exactamente igual que antes". Lo que significa que hay un agujero en tu lógica.

Desde una perspectiva más amplia, las ganancias previstas no son necesariamente información suficiente para responder a este tipo de pregunta; normalmente depende de algún contexto adicional. ¿Se trata de una oportunidad única o espera que le ofrezcan esta apuesta muchas veces? ¿De cuánto dinero dispone? ¿Y cuánto dinero necesita para ser feliz?

Por ejemplo, si mi riqueza total es de 100 dólares pero necesito urgentemente un millón de dólares para una operación que me salve la vida, estaría dispuesto a pagar todo mi dinero por una sola oportunidad en la apuesta de St. Sólo me da 1/2^19 posibilidades de ganar el dinero que necesito, pero si no juego no tengo ninguna posibilidad.

Por otro lado, si mi patrimonio total es de 1.000.000 $ y necesito exactamente un millón de dólares para esa operación, lo máximo que estaría dispuesto a pagar por una sola partida son dos dólares (que tengo garantizado recuperar). Si pago más, tengo la mitad de posibilidades de quedarme sin el millón de dólares que necesito para salvar mi vida.

Si espero tener muchos posibilidades de jugar a esos juegos, entonces probablemente quiera elegir una estrategia que me dé una alta probabilidad de tener mucho dinero al final de todos esos juegos. Por ejemplo:

El juego A garantiza que mi riqueza aumentará un 10% cada vez que lo juegue. (Ganancia esperada: +10% de mi riqueza actual). El juego B tiene un 90% de probabilidades de duplicación mi riqueza, y un 10% de probabilidades de llevarme a la quiebra. (Ganancia esperada: +70% de mi riqueza actual.) [Edito: en realidad +80% porque fallo en aritmética básica, pero el argumento sigue siendo válido].

Si juego 100 iteraciones del Juego A, seguro que multiplico mi riqueza por 13.780 veces.

Si juego 100 iteraciones del Juego B, tengo un 0,0027% de posibilidades de convertirme en inimaginablemente de riqueza (unas 10^30 veces más de lo que tenía al principio)... y un 99,73% de posibilidades de quebrar. Aunque el media es mejor que para el Juego A, no es una buena opción.

Para este tipo de juego muy iterativo, en lugar de intentar maximizar mis ganancias esperadas en cada partida, es mejor intentar maximizar el valor esperado de ln(riqueza total después de la partida/riqueza total antes de la partida). Esto garantiza el crecimiento a largo plazo sin arruinarme.

Si las apuestas de cada partida son pequeñas en relación con mi riqueza total, esto equivale aproximadamente a maximizar las ganancias esperadas en cada partida.

Por lo tanto, si juegas a muchos juegos y nunca arriesgas una gran parte de tu riqueza actual, entonces el valor esperado de la apuesta te dice todo lo que necesitas saber. En cualquier otra situación, también hay que pensar en otras cosas.