Intuición detrás de$i^{i}$.

Question

Mi consulta es acerca de la $i^{i}$ donde $i$ se define como la unidad imaginaria, y $i \in C$.

Sé que la prueba de este valor, sólo tenemos que sustituir $i$$\large{e^{i\left(\frac{\pi}{2}+2n\pi\right)}}$. Donde $n$ es cualquier entero porque todos estos valores corresponde a "$i$" a la derecha?

Lo que nos da, $i^{i}=\large{e^{-\frac{\pi}{2}+2n\pi}}$ Donde $n=0$, es el principal valor. $i.e.,$ $e^{-\frac{\pi}{2}}$.

Me refiero a este resultado siempre volar mi mente, para estar hablando honestamente. No sólo eso $i^i$ a pesar de ser un número complejo elevado a un número complejo. También alcanza un valor real! Y no sólo uno, sino muchos!

Mi pregunta sería que en primer lugar, este resultado estrictamente válido de acuerdo a las matemáticas? Hay lagunas en la definición como tal? Esto es lo que yo creo que podría ser de importancia http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/complex.shtml como algunas de las citas en esta página se indica.

En segundo lugar, hay alguna intuición detrás de por qué no podía ser así, incluso si pudiera, la idea de que puede tomar una infinidad de valores en $\mathcal R$ sólo por cambiar "$n$" todavía es duro tipo de.

Answer 1

ps

Answer 2

Sé que he añadido un "contradictorio" comentar como usted verá, pero un "riguroso" intuición será,
$i^i=(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2})^i$
Ahora, por De Moivre del Teorema,
$i^i=\cos i\frac{\pi}{2}+i\sin i\frac{\pi}{2}$
Por ti Fórmula de Euler,
$i^i=e^{i^2\frac{\pi}{2}}$
$i^i=e^{-\frac{\pi}{2}}$
$i^i=\frac{1}{e^\frac{\pi}{2}}$
Que, según mi calculadora es, $0.207879576...$.
Lo cual es confirmado por google.
P. S.:yo no demostrarlo para $2n\pi$, sólo un caso de ella.
Tan lejos como quieras la intuición, creo que a la inversa, ¿no es normal que el complejo de la raíz real de un número complejo? Por ejemplo, $2^{\frac1i}$ es complejo. Así, la pregunta que se hacen es sólo el reverso de la misma.
Espero que tenga sentido.