Un nombre para la propiedad$ \| x \star y \| = \| x \| \| y \| $.

Question

Supongamos que$ \star: V^2 \to V $ es alguna operación binaria en un espacio vectorial$ V $. En caso de que se mantenga, ¿hay un nombre para la siguiente propiedad? $$ \ para todo x, y \ en V: \ quad \ | X \ estrella y \ | = \ | X \ | \ | Y \ |. $$

Answer 1

Deje $ \Bbb{F} $ denotar el campo base de la $ V $. Si asumimos que el $ \star $ es una operación binaria en $ V $ que convierte a $ V $ a una $ \Bbb{F} $-álgebra, es decir,

• A la izquierda la distributividad: $ x \star (y + z) = x \star y + x \star z $ por cada $ x,y,z \in V $,
• Derecho distributividad: $ (x + y) \star z = x \star z + y \star z $ por cada $ x,y,z \in V $, y
• Compatibilidad con la multiplicación escalar: $ \lambda \cdot (x \star y) = (\lambda \cdot x) \star y = x \star (\lambda \cdot y) $ por cada $ \lambda \in \Bbb{F} $ y cada una de las $ x,y \in V $,

entonces llamamos a $ \| \cdot \| $ un multiplicativo norma para $ \star $.

Nota: Como estamos hablando de las normas aquí, necesariamente, asumir que $ \Bbb{F} \in \{ \Bbb{R},\Bbb{C} \} $.

Resulta que si $ V $ es unital $ \Bbb{R} $-álgebra tener un multiplicativo de la norma, a continuación, por un resultado de Urbanik y Wright, $ V $ es isomorfo a uno de los siguientes cuatro normativa $ \Bbb{R} $-álgebras:

• $ \Bbb{R} $ (ámbito real).
• $ \Bbb{C} $ (el complejo de campo).
• $ \Bbb{H} $ (los cuaterniones).
• $ \Bbb{O} $ (el octonions).