¿Hay más funciones mensurables o más no Lebesgue medibles de Lebesgue?

Question

¿Hay más funciones mensurables o más no Lebesgue medibles de Lebesgue?

¿Alguien ve cómo responder a esto. Por favor, cuéntale.

Answer 1

El número total de funciones de $\mathbb{R}$ a sí mismo es (suponiendo que el Axioma de Elección para el cardenal aritmética): $$\mathfrak{c}^{\mathfrak{c}} = (2^{\aleph_0})^{2^{\aleph_0}} = 2^{\aleph_02^{\aleph_0}} = 2^{2^{\aleph_0}} = |\mathcal{P}(\mathbb{R})|.$$ I. e., es igual a la cardinalidad del juego de poder de $\mathbb{R}$.

Como Thomas Andrew notas, si $N$ es cualquier subconjunto de a $\mathbb{R}$ que es de medida $0$, entonces cualquier función que se apoya en $N$ es Lebesgue medible; en particular, todas las funciones características de los subconjuntos de a $N$ son Lebesgue medibles. Hay $$|\mathcal{P}(N)| = 2^{|N|}$$ tales funciones.

Dejando $C$ ser el conjunto de Cantor (o mensurable de la multitud innumerable de medida $0$), se obtiene un límite inferior para el conjunto de Lebesgue medibles funciones de $$\Bigl|\{\chi_A\mid A\subseteq C\}\Bigr| = \Bigl|\mathcal{P}(C)\Bigr| = 2^{|C|} = 2^{2^{\aleph_0}}.$$

Por lo tanto, el conjunto de Lebesgue medibles funciones tiene cardinalidad $2^{2^{\aleph_0}}$.

En particular, no puede haber más que no se pueden medir las funciones de funciones medibles.

Por el contrario, aún asumiendo el Axioma de Elección, vamos a $V$ ser un Vitali subconjunto de $\mathbb{R}$$[0,1]$, y deje $A=V+2$, por lo que el $A$ es un subconjunto de nonmeasurable $\mathbb{R}$, $A\subseteq [2,3]$. Si $D$ es cualquier subconjunto del conjunto de Cantor, a continuación, $A\cup D$ es nonmeasurable, por lo $\chi_{A\cup C}$ es un nonmeasurable función. Por lo tanto, hay por lo menos $$|\mathcal{P}(C)| = 2^{|C|} = 2^{2^{\aleph_0}}$$ nonmeasurable funciones, y así no se exactamente de que muchos.

Por lo tanto, suponiendo que el Axioma de Elección, la cardinalidad del conjunto de Lebesgue-medible funciones de$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$, y la cardinalidad del conjunto de no-Lebesgue-medible funciones de$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$, son iguales, e igual a la cardinalidad del conjunto de todas las funciones de$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$.

Creo que el uso del Axioma de Elección es importante aquí, ya que Solovay demostrado que es consistente con la ZF de que todos los subconjuntos de a $\mathbb{R}$ son Lebesgue medibles, en cuyo caso cada función sería la de Lebesgue medibles.

Answer 2

Los juegos son la misma cardinalidad.

Dispone de una función medible $g$, y cualquier función medible $f$, $f\rightarrow f+g$ es un 1-1 función del conjunto de funciones medibles para el conjunto de innumerable funciones.

Por otro lado, vamos a $C$ ser el conjunto de Cantor (o cualquier medida de cero subconjunto de $\mathbb R$ con la misma cardinalidad como $\mathbb R$.) A continuación, vamos a $\phi:\mathbb R \rightarrow C$ ser un 1-1 correspondencia, y, para cualquier función medible $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$, definir $f^\phi:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ $f^\phi(x)=0$ si $x\not\in C$ $f^\phi(x)=f(\phi^{-1}(x))$ si $x\in C$. A continuación, $f^\phi$ es medible (ya que el apoyo es un subconjunto de a $C$) y $f^\phi = g^\phi$ si y sólo si $f=g$. Por lo tanto, tenemos un 1-1 mapa del conjunto de innumerable funciones para el conjunto de funciones medibles.

Así tenemos que los dos conjuntos son la misma cardinalidad.

Si queremos definir una relación de equivalencia $f \cong g$ si $\{x:f(x)\neq g(x)\}$ es de medida cero, son los dos conjuntos, el modulo esta equivalencia, que sigue siendo el mismo?

También, hay una categoría de Baire-como el sentido en el que el no medible funciones son "más grande?"

Answer 3

MÁS en algún sentido ... En ZF podemos anotar explícitamente muchas funciones medibles de Lebesgue. (Por ejemplo, una constante racional.) Pero no podemos escribir explícitamente (y probar en ZF) incluso una función no mensurable de Lebesgue. Así que en este sentido hay más funciones mensurables!