Componentes del tensor

Question

En la Geometría Semi-Riemann de Barrett Oneill hay una definición de componente tensorial:

Dejemos que $\xi=(x^1,\dots ,x^n)$ sea un sistema de coordenadas en $\upsilon\subset M$ . Si $A \in \mathscr I^r_s (M)$ los componentes de $A$ en relación con $\xi$ son las funciones de valor real $A _j^i, \dots j^i =A(dx^i_1,\dots > ,dx^i_s, \delta_{j 1},\dots, \delta_{j s})$ $i=1,\dots,r,\ j=1,\dots,s$ en $\upsilon$ donde todos los índices van desde $1$ a $n=\dim M$ .

Según la definición anterior, el $i$ El componente de $X$ en relación con $\xi$ es $X(dx^i)$ que se interpreta como $dx^i(X)=X(x^i)$ .

No entiendo la última frase.

Porque las formas únicas son $(0,1)$ tensores podríamos interpretarlos como $V(\theta)=\theta(V)$ .

Así que podemos hacer lo mismo aquí: $X(dx^i)=dx^i(X)$ . Pero, ¿cómo escribimos $dx^i(X)=X(x^i)$ ?

¿Me he equivocado?

Answer 1

El tensor $A_p$ en $p\in M$ de tipo $(r,s)$ es el mapa multilineal

$$A_p: \underbrace{T_p^{*} M\times\dots T_p^{*} M}_{r~\text{times}} \times\underbrace{T_p M\times\dots T_p M}_{s~\text{times}}\rightarrow \mathbb R $$

cuyos componentes ${A_p}^{i_1\dots i_r}_{j_1\dots j_s}$ vienen dadas por

$${A_p}^{i_1\dots i_r}_{j_1\dots j_s}:=A_p(dx^{i_1},\dots,dx^{i_r},\frac{\partial}{\partial x_{j_1}},\dots, \frac{\partial}{\partial x_{j_s}}),$$

que denota $\xi=(x_1,\dots,x_n)$ un sistema de coordenadas local en $p$ y por $\{dx^{\bullet}\}$ , $\{\frac{\partial}{\partial x_{\bullet}}\}$ doble base de $T_p^{*} M$ , $T_p M$ .

Como se ha dicho,

$$A_p^{i}:=A_p(dx^i), $$ $${A_p}_j:=A_p(\frac{\partial}{\partial x_j}). $$

Las convenciones y definiciones anteriores son las que se utilizan actualmente en la mayoría de los libros de texto. Propondría entonces detenerse aquí y utilizarlas para sus cálculos; lo que entra en "que se interpreta...", no está en mi opinión claro (por ejemplo, qué es $A(x_i)?$ Quizás $A$ evaluado en $(x_1,\dots,x_n)$ ? Pero entonces, ¿por qué utilizar esa notación, si es la que se viene utilizando desde el principio del OP? Etc...).

Answer 2

Hay una explicación intuitiva muy buena de esto en el libro de Penrose Camino a la realidad , cap. 14. Como resumen rápido, cualquier campo vectorial puede pensarse como un operador derivado direccional sobre funciones de valor escalar, es decir, para cada función suave de valor escalar $f$ y el campo vectorial $X$ definan el campo escalar $$X(f) \triangleq p \mapsto \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{f(p+\epsilon X_p) - f(p)}\epsilon $$ en cada punto $p$ . Esta acción en todos los $f$ determina de forma única $X$ .

Del mismo modo, la forma 1 $df$ actúa sobre un campo vectorial $X$ para obtener el cambio lineal en $f$ a lo largo de $X$ , es decir: $$df(X) = X(f)$$

Sustituyendo $x^i$ para $f$ entonces da $dx^i(X) = X(x^i)$ .

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Más detalladamente, dado un sistema de coordenadas $x^i$ , el cálculo exterior dice $$df = \sum_i \partial_{x^i}f\,dx^i$$ Combinando lo anterior $$X(f) = df(X) = \sum_i \partial_{x^i}f\,dx^i(X) = \sum_i \partial_{x^i}f \, X(x^i) = \sum_i X(x^i) \, \partial_{x^i} f \\ \therefore X = \sum_i X^i \partial_{x^i} \text{ where } X^i \triangleq X(x^i)$$

Así que $\partial_{x^i}$ forman una base para el espacio de los operadores de derivadas direccionales y, por tanto, también de los campos vectoriales.

El $dx^i$ entonces son la base dual de $\partial_{x^i}$ ya que $$dx^i(\partial_{x^j}) = \partial_{x^j} x^i = \delta^i_j \\ dx^i(X) = X(x^i) = X^i$$ según sea necesario.

Para formalizar esto en el entorno general de Riemann, hay que expresarlo en términos de colectores, gráficos y espacios/paquetes tangentes, con las condiciones de suavidad apropiadas en todo, pero la explicación de Penrose te da una buena imagen mental para empezar. El libro también tiene excelentes diagramas. Merece la pena conseguirlo sólo por el capítulo de geometría diferencial.