$\phi^4$ - teoría: interpretación del flujo RG

Question

Me estoy refiriendo a estas conferencias sobre el Renormalization Grupo y, más precisamente, la figura de la RG de flujo para la $\phi^4$-teoría en la página 18.

El Lagrangiano en la notación utilizada en el texto es

$$\mathcal L = -\frac{1}{2}(\partial_\mu \phi)^2 - V(\phi)\quad \text{with } \quad V(\phi)=\sum_n \mu^{d-n(d-2)}\frac{g_{2n}}{(2n)!}\phi^{2n}\,, $$ donde $\mu$ es el duro cortado.

Para su comodidad, aquí es pertinente la figura de la RG flujo de la dimensión $d=4-\epsilon$ $\epsilon>0$

Como se explica en el texto:

"F describe una masa interactuar la teoría que se interpola entre un libre la teoría de la UV y el Modelo de Ising en el IR"

Mi pregunta es muy simple: Cómo la línea F puede representar masa teorías como la constante de acoplamiento $g_2=m$ a lo largo de esa línea es distinto de cero....?

Answer 1

La imagen representa el Wilsonian RG actuando en el espacio de todas las teorías con la unidad UV cut-off (por ejemplo, todas las teorías que se puede poner en la unidad de celosía). Por supuesto, hay mucho más ejes que no están representados aquí. Este es un infinito-dimensional sistema dinámico pero lo más importante de la rebanada para el asunto en cuestión es la de las $\phi^2$ o $g_2$ e las $\phi^4$ o $g_4$ direcciones. Sin embargo, tal vez mejor sistema de coordenadas es el de la Mecha de poderes $$ :\phi^2:=\phi^2-C_{1,\infty}(0,0)\ , $$ $$ :\phi^4:=\phi^4-6\ C_{1,\infty}(0,0)\ \phi^2+3\ C_{1,\infty}(0,0)^2 $$ donde $C_{1,\infty}$ ist libre de covarianza con la unidad de corte en las anotaciones de https://mathoverflow.net/questions/62770/what-mathematical-treatment-is-there-on-the-renormalization-group-flow-in-a-spac/63089#63089

Esto es debido a que la Mecha poderes son los vectores propios de la diferencial de la RG mapa en el origen, es decir, el de Gauss punto fijo. Por básicos de la teoría de bifurcación, cuando se enciende un pequeño $\epsilon>0$ un nuevo punto fijo (Wilson-Fisher) emerge desde el origen en la dirección del vector propio $:\phi^4:$. Es un ejemplo de transcrítico bifurcación. Por lo que la línea F es tangente en el origen a la $:\phi^4:$ eje. Si usted triangular en el cambio de coordenadas entre la Mecha y no la Mecha de poderes, a continuación, puede ver que cerca del origen de la ecuación de F es aproximadamente $$ g_2=-6\ C_{1,\infty}(0,0)\ g_4 $$ Por CIERTO yo no incluyen factoriales en mi convenio para $V$. La imagen correctamente, tiene una pendiente negativa de la línea F.

Answer 2

La masa en el sistema es la inversa de la longitud de correlación, que es infinita en todas partes a lo largo de la línea etiquetada por F, como ésa es la línea de puntos críticos que separan la fase quebrada de la simetría de la fase ininterrumpida de$<\phi>=0$. El parámetro$g_2$ es simplemente eso --- un parámetro --- y no es la masa. Tienes que resolver la teoría para calcular la masa real de los parámetros desnudos$g_2$ y$g_4$.