$x^4 -ax^3 +2x^2 -bx +1$ Tiene raíz real$\implies$$a^2+b^2 \ge 8$

Question

se pide mostrar que si el polinomio de cuarto grado $f(x) \in \mathbb{R}[x]$, definido por:

$$ f(x) = x^4 -ax^3 +2x^2 -bx +1, $$ tiene una raíz real, entonces $$ a^2 +b^2 \ge 8 $$ esta pregunta fue hecha por @medo, a continuación, elimina hace unos minutos. sin embargo, habiendo pasado un poco de tiempo, creo que el problema parece suficientemente instructivo para ser vale la pena resucitar. no es profunda o difícil, pero encontrar la manera correcta de volver a escribir el polinomio para demostrar el resultado es un interesante coffee-break reto.

Answer 1

Puesto que la pregunta original ha sido resucitada ahora, también puedo publicar mis propios pensamientos sobre ella. He intentado algunas cosas que no funcionaron, y luego hecha sobre el siguiente enfoque, cuando$x \ne 0$ let$y=\frac1x$ $$ y ^ 2f (x) = \ left (x- \ frac {a} 2 \ Right) ^ 2 \ left (y- \ frac {b} 2 \ right) ^ 2 2 - \ frac {a ^ 2} 4 - \ frac {b ^ 2} 4 $$

Answer 2

Tenemos de la desigualdad de Cauchy-Schwarz:$((1+x^2)^2)^2=(x^4 + 2x^2 + 1)^2 = (ax^3+bx)^2 \le (a^2+b^2)(x^6+x^2) = (a^2+b^2)x^2(x^4+1)\implies a^2+b^2 \ge \dfrac{(1+x^2)^4}{x^2(x^4+1)}\ge 8 \iff (1+x^2)^4 \ge 8x^2(1+x^4) \iff (1+y)^4 \ge 8y(1+y^2), y = x^2 \ge 0$. Por último, considere$f(y) = (1+y)^4 - 8y(1+y^2), y \ge 0\implies f'(y) = 4(1+y)^3 - 8-24y^2 = 4((1+y)^3 - 2 - 6y^2)= 4(y-1)^3$. Así, si$0 \le y \le 1 \implies f'(y) \le 0 \implies f(y) \ge f(1) = 0$. Si $y \ge 1 \implies f'(y) \ge 0 \implies f(y) \ge f(1) = 0$. Cualquiera de los casos$f(y) \ge 0\implies a^2+b^2 \ge 8$ como se reivindica.

Answer 3

Sea$x$ una raíz. Por lo tanto,$x\neq0$ y$b=\frac{x^4-ax^3+2x^2+1}{x}$ y necesitamos probar que$$a^2+\frac{(x^4-ax^3+2x^2+1)^2}{x^2}\geq8$ $ o$$(x^6+x^2)a^2-2(x^7+2x^5+x^3)a+x^8+4x^6+6x^4-4x^2+1\geq0,$ $ por lo que es suficiente para demostrar que% ¡Hecho!