¿Por qué no son todos los intervalos llamados infinitos?

Question

Estoy un poco confundido acerca de la definición de conjuntos finitos/intervalos. Sé que un conjunto S se llama finita cuando se tiene un número finito de elementos, o formalmente, cuando existe un bijection $f:S\to\{1,...,n\}$ para algún número natural n.

Sin embargo, el intervalo de $(1,2)$ se llama finita. No entiendo por qué; $(1,2)$ no es ni siquiera contables, y que sin duda no existe un bijection $f:(1,2)\to\{1,...,n\}$.

¿Por qué llamamos a $(a,b)$$a,b\in\mathbb{R}$, finito? Acabamos de acuerdo para hacerlo, o es correcto usar el intervalo de $(a,b)$ como un conjunto, como lo hice en la definición de la finitud de arriba?

Gracias!

Answer 1

Hay diferentes maneras de pensar sobre el tamaño de un conjunto. En el caso de los números reales, y específicamente de los intervalos, podemos hablar de su longitud (y, en general, su medida de Lebesgue en el caso de conjuntos medibles).

Si usted piensa acerca de los números reales como un modelo de tiempo o en el espacio, la distancia entre usted y la pantalla a través de la cual usted está leyendo esto es un intervalo finito. Pero en este modelo, basado en los números reales, es un incontable intervalo, no es un conjunto finito.

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Una cosa para recordar acerca de la terminología, es que se debe destacar para el lector o el oyente algo acerca de una determinada propiedad relevante. En el caso de los intervalos, ya sabemos todos ellos tienen la misma cardinalidad (en el caso de no degenerada intervalos). Por lo que podemos utilizar "finito" o "infinito" para hablar de su longitud (y formalmente, su medida). De esta manera establecer la importancia en ese aspecto, en lugar de su cardinalidad.

Answer 2

Sí, acordamos hacerlo. Un "intervalo finito" es un intervalo de longitud finita, es decir, el número$b-a$ es finito. Un conjunto finito, por otro lado, es un conjunto de cardinalidad finita, por lo que consiste en sólo un número finito de elementos. Tal vez la terminología es un poco desafortunada, pero como cada intervalo no vacuo posee innumerables elementos, no hay mucha posibilidad de confusión una vez que son conscientes de estos hechos.

Answer 3

Con 'finito' se entiende la longitud. Así que un intervalo finito es un intervalo con longitud finita, donde la longitud (o medida) de un intervalo$(a,b)$ generalmente se define como$b-a$.

Answer 4

Los límites de (1, 2) son muy claros. Por lo tanto no es infinito. La paradoja de «Aquiles y la tortuga» puede ser aplicada aquí para aclarar la diferencia entre un límite y el infinito.