Encuentra todos esos polinomios

Question

Encuentre todos los polinomios$P(x)$ con coeficientes reales, tales que,

ps

Esta pregunta parece desalentadora. Por favor ayuda.

Answer 1

Si$x$ es un múltiplo de$\pi$, la serie converge a$1$.

Si$\deg P\ge 1$, sabemos que$|P(x)|>1$ para todos$|x|\gg 0$, contradiciendo el conditon anterior.

Sigue siendo el caso de que$P$ es constante,$P(x)=c$. Entonces el comentario sobre$x=k\pi$ lleva a$|c|\le 1$. Como ya el primer sumando de la serie es igual a$1$ para todo$x$, esta condición también es suficiente.

Por lo tanto, la solución consiste precisamente en los polinomios constantes con constante de valor absoluto$\le 1$.

Answer 2

Además de la buena y correcta respuesta de Hagen von Eitzen, permítaseme señalar que la serie es geométrica y puede ser evaluada fácilmente: $$ \ sum_ {r = 0} ^ {\ infty} | \ sin (x) La suma de la serie es$1$ cuando$x$ es un múltiplo entero de$\pi$, y ese caso simple es suficiente Para sacar la conclusión, pero aún más información está disponible si desea utilizarla.