Tengo el siguiente problema
Que $p\geq3$ un primer. Mostrar que $\mathbb{Q}(\sqrt[p]{p})$ no se encuentra en cualquier extensión ciclotómicas.
No sé cómo empezar el problema. ¡Cualquier sugerencia o ayuda será apreciada!
Gracias de antemano.
Respuestas
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Nota $n\geq 3,\, \Bbb{Q}[\zeta_n]$ es complejo y cualquier $n$ es normal abelian grupo de galois. Supongamos que $\sqrt[p]{p} \in \Bbb{Q}[\zeta_n]$. $\sqrt[p]{p}$ Es real, está contenida en el campo fijo de conjugación del complejo, lo llaman $K$. Como $Gal(\Bbb{Q}[\zeta_n])$ es abelian, $K$ es que Galois por lo tanto, debe ser normal. Pero si $p\geq 3$, $K$ no contiene las raíces de $x^p-p$ conjugado a $\sqrt[p]{p}$, es decir, $\zeta_p\sqrt[p]{p},\, \zeta_p^2\sqrt[p]{p},\dots$ ya que las raíces son complejas, por lo que no puede ser normal. Por lo tanto, $\sqrt[p]{p} \not \in \Bbb{Q}[\zeta_n]$ para cualquier $p\geq 3$
pisco125
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Utilizamos un lema:
Deje $p$ ser un número primo, $k\in \mathbb{Q}$ si $x^p-k$ no tiene racional de la raíz, a continuación, $x^p-k$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}[x]$
Suponga $\sqrt[p]{k} \in \mathbb{Q}(\zeta_n)$. Desde la extensión de $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ es lo normal en el $\mathbb{Q}$ $\sqrt[p]{k}$ es una raíz del polinomio $x^p-k$, el lema dice que el polinomio $x^p-k$ se divide completamente en $\mathbb{Q}(\zeta_n)$, por lo tanto $\zeta_p \in \mathbb{Q}(\zeta_n)$. Considere la posibilidad de la cadena de extensiones:
$$ F:=\mathbb{Q}\quad \subconjunto \quad L:=\mathbb{Q}(\zeta_p, \sqrt[p]{k}) \quad \subconjunto \quad K:=\mathbb{Q}(\zeta_n)$$
Ambas extensiones $K/F$ $L/F$ son Galois, el grupo de Galois de $K/F$ es abelian de orden $\varphi(n)$, mientras que el grupo de Galois de $L/F$ orden $p(p-1)$, es un grupo que no abelian al $p\geq 3$, (más específicamente, es el general afín grupo de más de $\mathbb{F}_p$), una contradicción, por lo tanto $\sqrt[p]{k} \notin \mathbb{Q}(\zeta_n)$.
user1952009
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$Gal(\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q}) \sim \mathbb{Z}_n^\times$ es un abelian (y Galois) extensión. Así para cualquier campo $F \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_n)$, $Gal(F/\mathbb{Q})$ es un subgrupo de $Gal(\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q})$ y $ F/\mathbb{Q}$ es una extensión abeliana.
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Que $K = \mathbb{Q}(\sqrt[p]{p},\zeta_p)$.
$[\mathbb{Q}(\zeta_p):\mathbb{Q}]= p-1$ y $[\mathbb{Q}(\sqrt[p]{p}):\mathbb{Q}]= p$ para $[K:\mathbb{Q}] = p(p-1)$ y su Galois grupo $Gal(K/\mathbb{Q})$ cuenta con elementos de la forma $$\sigma_{a,b}(\zeta_p^l \sqrt[p]{p}) = \sigma_{a,b}(\zeta_p^l)\sigma_{a,b}( \sqrt[p]{p})=\zeta_p^{al}\zeta_p^b \sqrt[p]{p}, \qquad a \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times,b \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ $y por lo tanto $p \ge 3$: $$\sigma_{2,1}( \sigma_{1,2}(\zeta_p^l \sqrt[p]{p}))=\zeta_p^{2l+4+1} \sqrt[p]{p} \ne \sigma_{1,2}(\sigma_{2,1}( \zeta_p^l \sqrt[p]{p}))=\zeta_p^{2l+3} \sqrt[p]{p}$$ por tanto $Gal(K/\mathbb{Q})$ no es un abelian grupo tan ni $K$ $\mathbb{Q}(\sqrt[p]{p})$ se encuentra en $\mathbb{Q}(\zeta_n)$.
