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Hallar la enésima derivada utilizando la serie de Maclaurin

Se trata de encontrar la octava derivada de la función f(x) definida como

f(x)=31+x2x2 f(8)(0)=?

Para encontrar la serie de maclaurin, he procedido a encontrar las derivadas de la función en 0 de la siguiente manera,

f(1)(x)=3+12x(1+x2x2)2 f(2)(x)=18(4x22x+1)(2x2+x+1)3

tal que, f(0)=3 f(1)(0)=3 f(2)(0)=18 f(3)(0)=90

Esto hace que la serie maclaurin, f(x)=33x+18x23!90x34!+...

Tengo entendido que de la serie, tenemos que tener (1)n ¡como el signo negativo es alterno, también en el denominador tenemos n!

n=0(1)n(x)nn! pero está incompleto, ya que no veo el patrón, agradecería si alguien puede ayudar a completar la serie y así encontrar la octava derivada.

9voto

Alotor Puntos 3438

Aquí tienes una pista.

Factoriza el denominador, y expande mediante "fracciones parciales". A continuación, encuentra la serie de cada término y suma.

6voto

Abdallah Hammam Puntos 358

f(x)=11x+21+2x

=(1+x+x2+...x8)+ 2(1(2x)+(2x)2....+(2x)8)+x8ϵ(x)

así

f(8)(0)=8!(1+29)=8!.513

poner t=2x entonces 1/(1+2x)=1/(1t)=1+t+t2+... .

5voto

Count Iblis Puntos 2083

Supongamos que queremos hacer esto sin expandir en fracciones parciales. Entonces podemos simplemente realizar una división larga de la fracción para obtener el coeficiente de x8 . Pero un algoritmo de división más rápido es la división Newton-Raphson, n pasos se obtendrán los coeficientes hasta x2n1 Este método se puede generalizar de tal manera que también funciona para funciones de forma cerrada arbitrarias, se utiliza en algunos programas de álgebra computacional.

La división de Newton-Raphson para polinomios funciona de forma análoga a como lo hace para los números reales. En este último caso se reduce a encontrar el recíproco de algún número y resolviendo la ecuación 1xy=0 mediante el método de Newton-Raphson, que da lugar a una secuencia de aproximaciones xn que satisface la ecuación de recurrencia:

xn+1=2xnyx2n

Entonces, si y es un polinomio y tomamos x0 igual al recíproco del término constante de ese polinomio, entonces al iterar con la Ec. (1) se obtendrán aproximaciones sucesivas para la expansión en serie del recíproco del polinomio, de manera que el número de términos correctos se duplica después de cada iteración.

Si ponemos p(x)=1+x2x2 entonces las aproximaciones sucesivas qn(x) del recíproco de p(x) satisfacen la ecuación de recurrencia

qn+1(x)=2qn(x)p(x)qn(x)2mod

donde q_0(x) = 1 . Aquí calculamos el módulo x^{2^{n+1}} porque sólo los coeficientes de x^r para r<2^{n+1} será correcta. Entonces encontramos:

\begin{split} q_1(x) &= &1-x\\ q_2(x) &= -&5 x^3+3 x^2-x+1\\ q_3(x) &= -&85 x^7+43 x^6-21 x^5+11 x^4-5 x^3+3 x^2-x+1 \\ q_4(x) &= -&21845 x^{15}+10923 x^{14}-5461 x^{13}+2731 x^{12}-1365 x^{11}+\\ & &683 x^{10}-341 x^9+171 x^8-85 x^7+43 x^6-21 x^5+11 x^4-5 x^3+3 x^2-x+1 \end{split}

La octava derivada de \dfrac{3}{p(x)} es, por tanto, igual a 8!\times 3\times 171

5voto

Claude Leibovici Puntos 54392

De otra manera.

Para el caso más general de encontrar f^{(n)}(0) = ? , has recibido buenas respuestas. Como soy perezoso y como n=8 es bastante pequeño, he utilizado la división larga para obtener \frac{3}{1+x-2x^2}=3-3 x+9 x^2-15 x^3+33 x^4-63 x^5+129 x^6-255 x^7+513 x^8+\cdots Entonces f^{(8)}(0) =513\times 8!

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