Supongamos que queremos hacer esto sin expandir en fracciones parciales. Entonces podemos simplemente realizar una división larga de la fracción para obtener el coeficiente de $x^8$ . Pero un algoritmo de división más rápido es la división Newton-Raphson, $n$ pasos se obtendrán los coeficientes hasta $x^{2^n -1}$ Este método se puede generalizar de tal manera que también funciona para funciones de forma cerrada arbitrarias, se utiliza en algunos programas de álgebra computacional.
La división de Newton-Raphson para polinomios funciona de forma análoga a como lo hace para los números reales. En este último caso se reduce a encontrar el recíproco de algún número $y$ resolviendo la ecuación $$\frac{1}{x} - y = 0$$ mediante el método de Newton-Raphson, que da lugar a una secuencia de aproximaciones $x_n$ que satisface la ecuación de recurrencia:
$$x_{n+1} = 2 x_{n} - y x_{n}^2\tag{1}$$
Entonces, si $y$ es un polinomio y tomamos $x_0$ igual al recíproco del término constante de ese polinomio, entonces al iterar con la Ec. (1) se obtendrán aproximaciones sucesivas para la expansión en serie del recíproco del polinomio, de manera que el número de términos correctos se duplica después de cada iteración.
Si ponemos $p(x) = 1 + x - 2 x^2$ entonces las aproximaciones sucesivas $q_n(x)$ del recíproco de $p(x)$ satisfacen la ecuación de recurrencia
$$q_{n+1}(x) = 2 q_n(x) - p(x) q_n(x)^2 \bmod x^{2^{n+1}}$$
donde $q_0(x) = 1$ . Aquí calculamos el módulo $x^{2^{n+1}}$ porque sólo los coeficientes de $x^r$ para $r<2^{n+1}$ será correcta. Entonces encontramos:
$$ \begin{split} q_1(x) &= &1-x\\ q_2(x) &= -&5 x^3+3 x^2-x+1\\ q_3(x) &= -&85 x^7+43 x^6-21 x^5+11 x^4-5 x^3+3 x^2-x+1 \\ q_4(x) &= -&21845 x^{15}+10923 x^{14}-5461 x^{13}+2731 x^{12}-1365 x^{11}+\\ & &683 x^{10}-341 x^9+171 x^8-85 x^7+43 x^6-21 x^5+11 x^4-5 x^3+3 x^2-x+1 \end{split} $$
La octava derivada de $\dfrac{3}{p(x)}$ es, por tanto, igual a $8!\times 3\times 171$
