$$\sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^n}{p_n}$% primer de th de $ where $p_n $ is the $n$.
Yo he calculado esto 10000 en lugar de infinito. Mis resultados sugieren que la convergencia ocurre pero es muy lento. ¿Pero aun no puedo estar seguro acerca de los primeros pocos dígitos: $-0.26959$?
He mirado en las "preguntas que ya tenga su respuesta" y algunas de las "preguntas similares," pero implican fórmulas algo diferentes.
Sí: cualquier serie de la forma $\sum_n (-1)^n a_n$ $a_n>a_{n+1}>0$ y $a_n \downarrow 0$ convergen, la alterna de prueba de la serie.
La gente ya te dije que puedes probar esto por la alternancia de la serie de prueba; he aquí la intuición:
Observe que la serie no puede oscilar posiblemente en el límite, debido a que los términos se aproxima a 0.
(¿Por qué es esto suficiente? Porque, por definición, que oscila en el límite significaría la serie siempre va hacia arriba y hacia abajo con una amplitud que no se descompone a cero. Pero los términos de hacer llegar a cero, por lo que la amplitud no ser arbitrariamente pequeño, es decir, la secuencia deja de oscilar en el límite.)
Así que la única cosa que puede hacer es convergen o divergen hasta el infinito.
Pero... no puede. Cada periodo subsiguiente va en la dirección opuesta de la anterior legislatura con una estrictamente menor paso-lo que significa que cada suma hasta un término positivo, es un límite superior sobre el total de la suma. Del mismo modo, cada suma hasta un término negativo es un límite inferior en el total de la suma.
Así que tenemos una finito superior y el límite inferior, es decir, la serie no puede disparar hasta el infinito.
Dado que no puede oscilar en el límite, eso significa que la única cosa que puede hacer es converger.
(Tenga en cuenta que esto no es una prueba, por ejemplo, yo ni siquiera definir la "amplitud". Esta es sólo la intuición.)
Estoy seguro de que ya sabes lo que la alternancia de serie de la prueba. Estoy respondiendo más a las otras personas que suceda en esta pregunta.
Wikipedia no es completamente equivocado cuando se trata de matemáticas, pero prefiero buscar otras fuentes. El enlace en la parte inferior de la página para el Mathworld artículo sobre el criterio de Leibniz.
Bueno, es una muy breve artículo que esencialmente dice que si la secuencia es "monótona decreciente", entonces la suma infinita converge. Luego me miró "monótona decreciente:"
Siempre es decreciente; nunca permanece constante o creciente. También se llama estrictamente decreciente.
La secuencia de los números primos es el opuesto de esto, monótona creciente. Pero la secuencia alternante estás suma es de los recíprocos de los números primos, y eso es definitivamente una monótona disminución de la secuencia. Compruebe que este límite existe: $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{p_n} = 0,$$ which means we can get $\frac{1}{p_n}$ arbitrarily close to $0$ al elegir más grande y más grande de los números primos.
Además, como casi todos los que lean esto deben saber muy bien, hay una infinidad de números primos. Esta secuencia de pases de la alternancia de la serie de prueba.
Por supuesto que no nos dice cómo rápidamente la convergencia ocurre. En este caso, es muy lento, y este número no es conocido a tantos decimales como algunos otros infinitos sumandos: $0.26960635197167$. De acuerdo a Sloane del A078437, el siguiente dígito es creído ser $4$.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
