La espiral mística(desafío)

Question

Sigue siendo uno de mis problemas favoritos. Siéntase libre de intentar resolverlo.

1. Comienza en un 0,0

2. Recorrer a lo largo del eje x en dirección positiva una distancia de 1

3. Girar 90 grados en sentido contrario a las agujas del reloj

4. avanzar 1/2 de la distancia del paso anterior

5. Repite los pasos 3 y 4 para siempre.

6. ¿a qué distancia del origen acabas?

Puntos extra por encontrar una ecuación para

1.Comienza en un 0,0

2. recorrer a lo largo del eje x en dirección positiva una distancia de A

3. Girar los grados en sentido contrario a las agujas del reloj

4. avanzar B veces la distancia anterior recorrida

5. Repite los pasos 3 y 4 para siempre.

6. ¿a qué distancia del origen acabas?

Answer 1

Utiliza los números complejos.

La posición final es, suponiendo $1>B\ge 0$ ,

$$A+ABe^{i\theta}+AB^2e^{2i\theta}+\cdots$$ $$=A(1+Be^{i\theta}+B^2e^{2i\theta}+\cdots)$$ $$=A\frac{1}{1-Be^{i\theta}}$$

La distancia es $$\left|\frac{A}{1-Be^{i\theta}}\right|=\frac{A}{\sqrt{1-2B\cos\theta+B^2}}$$

Para $A=1$ , $B=1/2$ , $\theta=\pi/2$ la distancia es $$\left|\frac{1}{1-\frac{i}{2}}\right|=\frac{2}{\sqrt{5}}$$