Deje $K$ ser un campo, $1 \leq d \leq n$ enteros y $V$ $n$- dimensional espacio vectorial. El Plücker las relaciones cuadráticas formas en $\wedge^d V$ cuya puesta a cero es exactamente el conjunto de descomponible vectores en $\wedge^d V$ (es decir, que son de la forma $v_1 \wedge ... \wedge v_d$), describiendo así el ideal correspondiente a la Plücker incrustación $\text{Gr}_d(V) \to \mathbb{P}(\wedge^d V)$. Pero en todos los libros que he leído hasta ahora, estos Plücker relaciones se construyen por medio de muchas identificaciones entre dobles, exterior, poderes, etc. así que no soy capaz de anotar de manera explícita. Aunque lo he intentado, muchos de los signos y de las sumas confundirme.
Pregunta. Es posible escribir estas Plücker relaciones explícitamente como un conjunto de polinomios en el ring $K[\{x_H\}]$ donde $H$ se ejecuta a través de los subconjuntos de a $\{1,...,n\}$ $d$ elementos? (Por supuesto que es posible, pero me pregunto cómo hacer esto en general)
Edit: después de la respuesta de abajo, aquí está el
Respuesta: en Lugar de usar estos subconjuntos $H$, el uso de índices de $1 \leq i_1 < ... < i_d \leq n$, y extender la definición de $x_{i_1,...,i_d}$ todos los $d$-tuplas de tal manera que $x_{i_1,...,i_d}=0$ si estas $i_j$ no pares distintos, y en caso contrario, $x_{i_1,....,i_d} = sign(\sigma) \cdot x_{i_{\sigma(1)},...,i_{\sigma(d)}}$ donde $\sigma$ es la única permutación de $1,...,d$, lo que hace que $i_{\sigma(1)} < ... < i_{\sigma(d)}$. A continuación, el Plücker, las relaciones de
$\sum\limits_{j=0}^{d} (-1)^j x_{i_1,...,i_{d-1},k_j} * x_{k_0,...,\hat{k_j},...,k_d} = 0$
para los números enteros $i_1,...,i_{d-1},k_0,...,k_d$$1,...,n$.
