Demostrando a una relación relacionados con la ecuación cuadrática

Question

Pregunta:Si $α$ $β$ ser las raíces de $ax^2+2bx+c=0$ y $α+δ$, $β+δ$ los de $Ax^2+2Bx+C=0$, demostrar que, a $\frac{b^2-ac}{a^2}=\frac{B^2-AC}{A^2}$.

Mi Intento: Hallar la suma de las raíces y el producto de las raíces para que tanto las ecuaciones obtenemos,

$α+β=\frac{-2b}{a}$

---

$αβ=\frac{c}{a}$

---

$α+δ+β+δ=\frac{-2B}{A}$

⇒ $α+β+2δ =\frac{-2B}{A}$

---

$(α+δ)(β+δ)=\frac{C}{A}$

⇒ $αβ+αδ+βδ+δ^2=\frac{C}{A}$

⇒$\frac{c}{a}+αδ+βδ+δ^2=\frac{C}{A}$ ⇒ $αδ+βδ+δ^2=\frac{Ca-cA}{Aa}$

---

$(α+β)^2=\frac{4b^2}{a^2}$

⇒ $α^2+β^2+2αβ=\frac{4b^2}{a^2}$

$α^2+β^2+\frac{2c}{a}=\frac{4b^2}{a^2}$

⇒ $α^2+β^2=\frac{4b^2-2ac}{a^2}$ -(1)

---

$(α+β+2δ)^2 =\frac{4B^2}{A^2}$

⇒ $α^2+β^2+(2δ)^2+2(αβ+2βδ+2αδ)=\frac{4B^2}{A^2}$

⇒$α^2+β^2+4δ^2+2αβ+4βδ+4αδ=\frac{4B^2}{A^2}$

⇒$α^2+β^2+2αβ+4(δ^2+βδ+αδ)=\frac{4B^2}{A^2}$

⇒$α^2+β^2+\frac{2c}{a}+4(\frac{Ca-cA}{Aa})=\frac{4B^2}{A^2}$

⇒$α^2+β^2=\frac{4aB^2-2A^2 c-4Aac+4cA^2}{A^2a}$ -(2)

---

A partir de (1) y (2) obtenemos,

$\frac{4b^2-2ac}{a^2}=\frac{4aB^2-2A^2 c-4Aac+4cA^2}{A^2a}$

Mi problema: he intentado simplificarlo aún más, pero no podría alcanzar el resultado requerido. Una continuación de mi método sería más apreciada en comparación con otros métodos.

Answer 1

En su lugar haciendo todo el trabajo que hiciste, se nota que la diferencia de raíces $(\vert x_1-x_2\vert )$ es el misma para las ecuaciones de ambos. Por lo tanto:

$$|\alpha-\beta|=|(\alpha+\delta)-(\beta+\delta)|=\sqrt{(\alpha+\beta)^2-4\alpha \beta}=\sqrt{(\alpha+\delta +\beta+ \delta)^2-4(\alpha+\delta)( \beta+\delta)}$$

$$\implies \sqrt{\left(\frac {-2b}{a} \right)^2 -4\left(\frac ca \right)}= \sqrt{\left(\frac {-2B}{A} \right)^2 -4\left(\frac CA\right)}$$

$$\implies \frac{b^2-ac}{a^2}=\frac{B^2-AC}{A^2}$$

Answer 2

Alternativa sugerencia: podemos suponer WLOG que $\,a=A=1\,$, ya que tanto las raíces y la igualdad se ha demostrado son homogéneos en los respectivos coeficientes.

Entonces, si $\alpha, \beta$ son las raíces de $x^2+2bx+c=0$, el polinomio con raíces $\alpha+\delta, \beta+\delta$ es:

$$(x-\delta)^2+2b (x-\delta)+c=0 \;\;\iff\;\; x^2 + 2(b-\delta)x+\delta^2-2b\delta+c=0\,$$

La identificación de los coeficientes de da $B=b-\delta$$C=\delta^2-2b\delta+c\,$, entonces:

$$\requieren{cancel} B^2 - C=(b^2-\bcancel{2 b\delta}+\cancelar{\delta^2})-(\cancelar{\delta^2}-\bcancel{2b\delta}+c) = b^2 - c$$

---

[ EDITAR ] Para contestar OP editar:

Una continuación de mi método sería más apreciada en comparación con otros métodos.

Hay un error/error tipográfico en la fórmula (2). Una vez corregido (en color rojo): $$\requieren{cancel} \frac{4b^2-2ac}{a^\bcancel{2}}=\frac{4aB^2-2A^2 c-4Aa\color{red}{C}+4cA^2}{A^2 \bcancel{un}}$$

$$4b^2A^2-\bcancel{2acA^2}=4a^2B^2-\bcancel{2acA^2}-4a^2AC+4acA^2$$

$$\bcancel{4}A^2 b^2-ac) = \bcancel{4}a^2 B^2-AC)$$

$$\frac{b^2-ac}{a^2} =\frac{B^2-AC}{A^2}$$

Answer 3

WLOG, $A=a=1$ (de lo contrario se puede dividir el trinomio por su coeficiente principal).

Entonces

% $(x+\delta)^2+2B(x+\delta)+C=x^2+2(\delta+B)x+\delta^2+2B\delta+C=x^2+2bx+c,$y

$$b^2-c=(\delta+B)^2-(\delta^2+2B\delta+C)=B^2-C.$$

Answer 4

Aquí está el lado izquierdo: $$\frac{b^2-ac}{a^2} = \left(\frac{b}{a}\right)^2-\frac {c}{a}$ $$$ =\left(\frac {-(\alpha+\beta)} {2}\right)^2-\alpha\beta $$=\frac {{\alpha}^2+{\beta}^2+2\alpha\beta}{4}-\frac {4\alpha\beta}{4}$ $$$ =\frac{{\alpha}^2+{\beta}^2-2\alpha\beta} {4} $$=\left(\frac{\alpha-\beta} {2}\right)^2$ $ y aquí está el lado derecho:$$ \frac{B^2-AC}{A^2}=\left(\frac {B}{A}\right)^2-\frac{C}{A} $$=\left(\frac{-(\alpha+\beta+2\delta)}{2}\right)^2-(\alpha+\delta) (\beta+\delta)$ $$$ =\frac {{\alpha}^2+{\beta}^2+4{\delta}^2+2\alpha\beta+4\alpha\delta+4\beta\delta} {4}-\frac {4\alpha\beta+4\alpha\delta+4\beta\delta} {4} $$=\frac {{\alpha}^2+{\beta}^2-2\alpha\beta} {4}$ $$$ =\left(\frac {\alpha-\beta} {2}\right)^2 claramente, lado izquierdo = lado derecho. QED.

Answer 5

Por la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática, la diferencia cuadrada entre ellos es $$\left(\frac{\pm\sqrt{b^2-ac}}{a}\right)^2=\frac{b^2-ac}{a^2}$$ (factor $$ %4 omitido) y es invariante por la traducción.