¿Podemos identificar el límite de esta media geométrica/aritmética como iteración?

Question

Deje $a_0 = 1$$b_0 = x \ge 1$. Vamos $$a_{n+1} = (a_n+\sqrt{a_n b_n})/2, \qquad b_{n+1} = (b_n + \sqrt{a_{n+1} b_n})/2.$$

Realizar cálculos numéricos sugiere que, independientemente de la elección de $x$, $a_n$ y $b_n$ siempre convergen en el mismo valor. Podemos demostrar esto?

Por otra parte, si asumimos que esto es cierto y definir $f(x) = \lim_{n \to \infty} a_n$, a continuación, realizar cálculos numéricos muestra que $$f'(1) \aprox 0.57142857142857 \aprox 4/7 \\ f"(1) \aprox -8/49 \\ f^{(3)}(1) \aprox 1056/4459 \\ f^{(4)}(1) \aprox -65664/111475.$$ Parece ser que algunos de los patrones de aquí. Podemos realmente encontrar el límite con estas pistas?

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En realidad estaba tratando de comprobar esta recursividad $$a_{n+1} = (a_n+\sqrt{a_n b_n})/2, \qquad b_{n+1} = (b_n + \sqrt{a_{n} b_n})/2.$$ He hecho una mistaked en mi código y se calcula el uno en la parte superior. Ver El Ordenador como Crisol, pp 130.

Answer 1

Tenemos $1\le a_0\le b_0\le x$.

Podemos comprobar que la $1\le a_n\le a_{n+1}\le b_{n+1}\le b_n\le x$ por inducción matemática.

$\displaystyle a_1=\frac{1+\sqrt{x}}{2}$ $\displaystyle b_1=\frac{x+\sqrt{a_1x}}{2}$.

Obviamente, $a_1\ge 1$. Por lo tanto $\displaystyle b_1-a_1=\frac{(x-1)+(\sqrt{a_1}-1)\sqrt{x}}{2}\ge0$

Tenga en cuenta que

$$a_1-x=\frac{1+\sqrt{x}-2x}{2}=\frac{(1-\sqrt{x})(1+2\sqrt{x})}{2}\le0$$

y

$$b_1\le\frac{x+\sqrt{x\cdot x}}{2}=x$$

Por lo tanto, $1\le a_0\le a_{1}\le b_{1}\le b_0\le x$.

Supongamos que $1\le a_k\le a_{k+1}\le b_{k+1}\le b_k\le x$. Entonces

$$a_{k+2}=\frac{a_{k+1}+\sqrt{a_{k+1}b_{k+1}}}{2}\ge\frac{a_{k+1}+\sqrt{a_{k+1}a_{k+1}}}{2}=a_{k+1}$$

$$b_{k+2}=\frac{b_{k+1}+\sqrt{a_{k+2}b_{k+1}}}{2}\ge\frac{a_{k+1}+\sqrt{a_{k+1}b_{k+1}}}{2}=a_{k+2}$$

y

$$b_{k+2}=\frac{b_{k+1}+\sqrt{a_{k+2}b_{k+1}}}{2}\le\frac{b_{k+1}+\sqrt{b_{k+2}b_{k+1}}}{2}$$

Así,

$$\begin{align} b_{k+2}&\le\frac{b_{k+1}+\frac{b_{k+2}+b_{k+1}}{2}}{2}\\ 4b_{k+2}&\le3b_{k+2}+b_{k+1}\\ b_{k+2}&\le b_{k+1} \end{align}$$

Esto completa la inducción de la prueba.

Por eso, $\{a_n\}$ es creciente y acotada arriba por $x$. $\{b_n\}$ es decreciente y acotada abajo por $1$. Las secuencias convergen.

Deje $\displaystyle \lim_{n\in\infty} a_n=a$$\displaystyle \lim_{n\in\infty} b_n=b$. Entonces tenemos

$$a=\frac{a+\sqrt{ab}}{2}$$

Esto implica que $a=b$.

Sin resolver: ¿Cómo encontrar el valor de los comunes límite?