¿No se pueden evitar las probabilidades negativas de la ecuación de Klein-Gordon?

Question

Me encontré con estas notas de Dyson sobre la mecánica cuántica relativista. Allí, en la página 3, menciona que el problema con la ecuación de Klein-Gordon es que la única manera de relacionar $\psi$ con una densidad de probabilidad (que tiene una ecuación de continuidad) es definir $$\rho=\dfrac{\iota}{2m}\bigg(\psi^*\dfrac{\partial \psi}{\partial t}-\psi \dfrac{\partial \psi^*}{\partial t}\bigg)$$ con la ecuación de continuidad $$\nabla \cdot \vec{j}+\dfrac{\partial \rho}{\partial t}=0$$ donde $$\vec{j}=\dfrac{1}{2m\iota}\big(\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^*\big).$$ Dice que el problema con esa densidad de probabilidad es que como la ecuación de Klein-Gordon es una ecuación de segundo orden, tanto $\psi$ y $\dfrac{\partial \psi}{\partial t}$ constituyen la condición inicial y, por lo tanto, son arbitrarias, lo que conduce a las inevitables densidades de probabilidad negativas.

Pero, ¿no puede pensarse que el requisito de una densidad de probabilidad positiva es una restricción de las propias condiciones iniciales? Como en la relatividad especial, la velocidad de una partícula forma parte de la condición inicial, pero la teoría restringe el tipo de condiciones iniciales que se pueden tener. Del mismo modo, ¿no podemos restringir la forma de la condición inicial para asegurar la naturaleza no negativa de la densidad de probabilidad?

Answer 1

Trabajaré en el $+---$ convención así $\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}-k_0t=-k\cdot x$ . Debería encontrar que $\psi=\exp{\mp ikx}$ obtiene $j^\mu=\pm m^{-1}k^\mu$ . Conjugación compleja de $\psi$ sigue dando una solución para el KGE (el TDSE no funciona así) y cambia los signos de la energía y la probabilidad. El problema de intentar eliminar por arte de magia la mitad de las soluciones es que se rompe la invariancia bajo la inversión del tiempo. Esto está relacionado con el hecho de que $E^2=p^2+m^2$ es invariable bajo $E\to -E$ .

La solución general puede escribirse como una transformada de Fourier. Si se generaliza una combinación lineal de soluciones de ondas planas con coeficientes constantes para que, tras la cuantización, estos coeficientes sean valorados por el operador, se encuentra otra dificultad: $\hat{\psi}$ no será hermético. En cambio, si se mantienen todas las soluciones, el integrando tiene dos términos: uno con operadores de aniquilación y otro con operadores de creación. Si se elimina cualquiera de los dos términos $\psi$ aniquilará el sujetador del vacío pero no el cometa del vacío o viceversa, según el término que se mantenga.