Dónde y cómo puedo trama algo como esto:
$$f(x)=\log(|\log(|\log(|\underbrace{\dots}_{n}\log(|x|)|)|)|)$$
Donde $n\to\infty$? ¿Qué pasaría con la función?
Me gustaría agradecer a ambas respuestas hasta ahora (Hagen von Eitzen y Joonas Ilmavirta), y sólo tiene que añadir en la cuestión de los gráficos para $n=1\dots9$ producido con Pablos comentario en la primera respuesta:
Donde vemos que la mayoría de la trama va a ser cubierta con los valores que divergen, y countably muchos puntos iniciales que convergen, se reunirán a $-W(1)\approx-0.567143290409783872999968662\dots$ donde $W$ es la Función W de Lambert.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Para hacer sentido de esto, podríamos definir $f_0(x)=x$, $f_{n+1}(x)=\ln(|f_n(x)|)$ y finalmente $f(x)=\lim_{n\to \infty}f_n(x)$. Si esto debe converege cualquier $x$ en todo entonces ciertamente a un número $y$ con el % de propiedad $y=\ln(|y|)$, es decir, $e^y=|y|$. Esto tiene una única solución $\approx -0.5671432904$, que $f$ tiene que ser constante (donde converge). Sin embargo, $f$ a menudo no convergen, por ejemplo, si llegamos a $0$ después de finito muchas iteraciones.
James Pearce
Puntos
1934
Escrito $g(x)=\log(|x|)$, usted está buscando en la iteración de la función $g$. El único límite, como Hagen von Eitzen señala, es el único punto fijo de $g$, es decir,$a\approx-0.57$.
Un punto fijo se llama estable si para $x$ lo suficientemente cerca como para $a$ itera $g$ aporta $x$ acerca más y más a $a$. La estabilidad del punto fijo en $a$ está relacionado con el valor de $|g'(a)|$; véase Wikipedia. Desde $|g'(a)|\approx1/0.57>1$, el punto fijo es exponencialmente estable: cualquier punto de $x$ cerca, pero no exactamente en el $a$ se aleja de ella a ritmo exponencial.
Por lo tanto, la única manera de que una secuencia $(x_i)$ $x_{i+1}=g(x)$ puede converger a $a$ es que el $x_N=a$ algunos $N$. Es decir, usted tiene que golpear el límite exactamente después de un número finito de iteraciones. Sólo hay countably muchos puntos de partida $x_0\in\mathbb R$) que satisfacen este; de lo contrario, no hay límite.
El valor absoluto de la derivada de $x\mapsto\log(|x|)$ $\approx1/0.57>1$ en el punto fijo, por lo que el punto fijo es inestable. Por lo tanto, la convergencia con el límite es muy raro, incluso si se evita cero: usted tiene que golpear el punto fijo después de un número finito de iteraciones. Es posible escribir el conjunto de todos los puntos iniciales de forma recursiva, pero no estoy seguro de si eso da ninguna información adicional.
También sólo countably muchos puntos iniciales conducen a cero, por lo que la secuencia termina y la definición no tiene sentido. Para la mayoría de los números reales (cocountably muchos) la iteración de $g$ están bien definidos, pero que no convergen.
Conclusión: El límite de la función sólo está definido en countably muchos puntos y toma el mismo valor $a$ en cada punto.
