Grado de una extensión de $ \mathbb{Q} $

Question

Estoy tratando de encontrar un grado de la extensión de $ \mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(\sqrt{2} + i) $. Una vez que he terminado con eso, me gustaría encontrar una base de $ \mathbb{Q} (\sqrt{2} + i) $ $ \mathbb{Q} $ - espacio lineal

Mi intento: $ (\sqrt{2} + i)^2 = 1 + 2\sqrt{2}i $. Esta es una raíz de la siguiente polinomio: $P(x) = x^2 - 2x + 9 \in \mathbb{Q}[x]$ (que se puede encontrar por adivinar - tal vez hay un más eficiente y universal?)

Por lo tanto, $ a = \sqrt{2} + i$ es una raíz de $ R(x) = P(x^2) = x^4 - 2x^2 + 9 \in \mathbb{Q}[x] $

Si me las arreglo para demostrar que $R(x) $ es irreducible en a $ \mathbb{Q}[x] $, que va a decir que el grado es de 4. Eisenstein, el criterio no es de ninguna utilidad. Otra forma es expresar $ R(x) $ $ R(x) = (x - a_1)(x-a_2)(x-a_3)(x- a_4) $ donde $ a_i $ $ \mathbb{C} \setminus \mathbb{R} $ y demostrar que todos los productos de la forma $ (x- a_i)(x-a_j) $ no de$ \mathbb{Q}[x] $ -, pero que no es muy elegante. Hay una manera mejor?

Y aboout encontrar una base que no tengo realmente una buena idea de cómo hacer eso.

Así que mi pregunta es: ¿el siguiente argumento bien? Y ¿cómo puedo encontrar una base de esta extensión?

Te agradecería un poco de ayuda

Answer 1

Nota: no estoy en la dirección de sus intentos en esta respuesta, y sólo zambullirse hacia una solución alternativa, así que mira de lejos, si no estás interesado. Me hizo dejar algunas cosas que puedes hacer, sin embargo.

Bien, primero vamos a tratar de demostrar la afirmación: $$\Bbb Q(\sqrt{2} + i) = \Bbb Q(\sqrt{2}, i)$$ Si esto es cierto, entonces ambos tienen la misma base y el grado.

1. Observe que $\sqrt{2} + i \in \Bbb Q(\sqrt{2} + i)$, lo $(\sqrt{2} + i)^{2} \in \Bbb Q(\sqrt{2} + i)$. Pero $(\sqrt{2} + i)^{2} = 2 + 2\sqrt{2}i - 1 = 1 + 2\sqrt{2}i$. Esto significa $1 + 2\sqrt{2}i \in \Bbb Q(\sqrt{2} + i)$.

2. Luego restando $1$ y, posteriormente, dividir por $2$, obtenemos que $\sqrt{2}i \in \Bbb Q(\sqrt{2} + i)$.

3. Pero $\Bbb Q(\sqrt{2} + i)$ es cerrado bajo la multiplicación, por lo $(\sqrt{2} + i)\sqrt{2}i \in \Bbb Q(\sqrt{2} + i)$. Y $(\sqrt{2} + i)\sqrt{2}i = 2i - \sqrt{2}$.

4. A continuación,$2i - \sqrt{2} + (\sqrt{2} + i) = 3i \in \Bbb Q(\sqrt{2} + i)$, y dividiendo por $3$ nos da ese $i \in \Bbb Q(\sqrt{2} + i)$.

5. Del mismo modo, si añadimos $(2i - \sqrt{2})$$-2(\sqrt{2} + i)$, obtenemos $-2\sqrt{2}$, lo que implica $\sqrt{2} \in \Bbb Q (\sqrt{2} + i)$.

Así, desde la $\sqrt{2}, i \in Q (\sqrt{2} + i)$, se deduce que el $\Bbb Q(\sqrt{2}, i) \subseteq Q (\sqrt{2} + i)$.

Debe quedar claro que $Q(\sqrt{2}, i) \supseteq Q (\sqrt{2} + i)$, de modo que los dos son iguales.

Esto nos ayuda porque ahora, podemos encontrar el grado y la base. Trate de determinar tanto y déjeme saber si usted necesita más ayuda.

Answer 2

Sugerencia: Observe que $\mathbb Q (\sqrt 2 + i) = \mathbb Q (\sqrt 2 , i)$. En realidad

$(\supseteq)$ Mostrar que % $ $$\sqrt 2 - i = \frac{(\sqrt 2 - i)(\sqrt 2 + i)}{\sqrt 2+ i}$$\mathbb Q (\sqrt 2 + i)$

$(\subseteq)$ Es claro.

Answer 3

Desde $\;P(x)\;$ es real su complejo no real de las raíces aparecen como conjugado pares, entonces también se $\;\sqrt2-i\;$ es una raíz, y por lo tanto $\;x^4-2x^2+9\;$ es divisible por

$$\;(x-(\sqrt2-i))(x-(\sqrt2+i))=x^2-2\sqrt2 x+3\;$$

Dividiendo $\;P(x)\;$ por encima cuadrática obtenemos

$$x^4-2x^2+9=\left(x^2-2\sqrt2x+3\right)\left(x^2+2\sqrt2x+3\right)$$

Desde $\;P(x)\;$ no tiene raíces racionales (por qué?) la única posibilidad de factor sobre los racionales es como producto de dos cuadráticas. Pero el de arriba muestra que esto es posible sólo con dos no-racional cuadráticas, y desde $\;\Bbb R[x]\;$ es un UFD esta muestra $\;P(x)\;$ es realmente irreductible.