¿Lo cierto es que si $n$ aun así es $\sum_{k=1}^{n}(n \bmod k)<\frac{8}{45}n^2$?

Question

Que $f(n,k)$ ser el menos no negativo número entero tal que $n\equiv f(n,k) \bmod k.$

$f(10,k)(k=1,2,\cdots,10)=0, 0, 1, 2, 0, 4, 3, 2, 1, 0.$

Por lo tanto, $$\sum_{k=1}^{10}f(10,k)=1+2+4+3+2+1=13.$ $

Pregunta: Es cierto que si $n$ es incluso entonces $$\sum_{k=1}^{n}f(n,k)<\frac{8}{45}n^2\tag?$ $

Esto es cierto para $n<10^5,$ pero no es cierto para muchos enteros impares, tales como $11,23,29,35,47,53,59,\cdots$

Eidt: ¿Existe $$\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n}f(n,k)$ $?

Answer 1

Se aplican $n\bmod k = n - k \big\lfloor \frac{n}{k} \big\rfloor$ $$g(n) = \sum_{k=1}^n (n\bmod k)$$ para obtener $$g(n) = n^2 - \sum_{k=1}^n k \bigg\lfloor \frac{n}{k} \bigg\rfloor.$$ Introducir $$q(n) = \sum_{k=1}^n k \bigg\lfloor \frac{n}{k} \bigg\rfloor$$ y observar que $$q(n+1)-q(n) = (n+1) \bigg\lfloor \frac{n+1}{n+1} \bigg\rfloor + \sum_{k=1}^n k \left(\bigg\lfloor \frac{n+1}{k} \bigg\rfloor - \bigg\lfloor \frac{n}{k} \bigg\rfloor\right) \\= n+1 + \sum_{d|n+1\en la cima d <n+1} d = \sigma(n+1).$$ Por lo tanto, $$q(n) = \sum_{k=1}^n \sigma(n).$$ Ahora recuerdo que $$\sum_{n\ge 1}\frac{\sigma(n)}{n^s} = \zeta(s)\zeta(s-1) \quad\text{y}\quad \mathrm{Res}\left(\zeta(s)\zeta(s-1); s=2\right) = \frac{\pi^2}{6}.$$ Por lo tanto, por la Wiener-Ikehara teorema de $$ \sum_{k=1}^n \sigma(n) \sim \frac{\pi^2}{6} \frac{n^2}{2} = \frac{\pi^2}{12} n^2.$$ De ello se sigue que $$ g(n) \sim \left(1-\frac{\pi^2}{12} \right) n^2$$ y la conjetura límite existe.

Esta aproximación es bastante buena, por ejemplo, tenemos $g(2000) = 708989$ y la aproximación da $710132.$

Incluso mejor podemos utilizar Mellin-Perron suma e incluyen la pole en uno que tiene el residuo $-1/2$, $$\mathrm{Res}\left(\zeta(s)\zeta(s-1); s=1\right) = -\frac{1}{2}$$ más de un término de corrección para obtener $$g(n) \sim \left(1-\frac{\pi^2}{12} \right) n^2 + \frac{1}{2} n - \frac{1}{2}\sigma(n).$$

Esta última aproximación es excelente, da $708714$ $n=2000$ $n=8000$ con valor exacto $g(8000)=11356914$ da $11356203.$$n=16000$, $g(16000) = 45437799$ y la aproximación da $45436549.$

Observar que $$\frac{8}{45} \approx 0.1777777778 \quad\text{y}\quad 1-\frac{\pi^2}{12} \approx 0.1775329664$$ así que la conjetura coeficiente estaba muy cerca de la asintótica.