Una matriz y su transposición tienen el mismo conjunto de valores propios

Question

Deje que $ \sigma (A)$ ser el conjunto de todos los valores propios de $A$ . Demuestra que $ \sigma (A) = \sigma (A^T)$ donde $A^T$ es la matriz transpuesta de $A$ .

Answer 1

La matriz $(A - \lambda I)^{T}$ es la misma que la matriz $(A^{T} - \lambda I)$ ya que la matriz de identidad es simétrica.

Así:

$$\det(A^{T} - \lambda I) = \det((A - \lambda I)^{T}) = \det (A - \lambda I)$$

De esto se desprende que los valores propios son los mismos para ambos $A$ y $A^{T}$ .

Answer 2

Voy a trabajar un poco más en general.

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial de dimensión finita sobre algún campo $K$ y que $\langle\cdot,\cdot\rangle$ ser un no degenerado forma bilineal en $V$ .

Tenemos entonces para cada endomorfismo lineal $A$ de $V$ que existe un endomorfismo único $A^*$ de $V$ tal que $$\langle Ax,y\rangle=\langle x,A^*y\rangle$$ para todos $x$ y $y\in V$ .

La existencia y la singularidad de tal $A^*$ requiere alguna explicación, pero lo daré por sentado.

Propuesta: Dado un endomorfismo $A$ de un espacio vectorial de dimensión finita $V$ equipado con una forma bilineal no degenerada $\langle\cdot,\cdot\rangle$ los endomorfismos $A$ y $A^*$ tienen el mismo conjunto de valores propios.

Prueba: Dejemos que $\lambda$ sea un valor propio de $A$ . Y que $v$ sea un vector propio de $A$ correspondiente a $\lambda$ (en particular, $v$ es distinto de cero). Sea $w$ sea otro vector arbitrario. Entonces tenemos que: $$\langle v,\lambda w\rangle=\langle\lambda v,w\rangle=\langle Av,w\rangle=\langle v,A^*w\rangle$$ Esto implica que $\langle v,\lambda w-A^*w\rangle =0$ para todos $w\in V$ . Ahora, o bien $\lambda$ es un valor propio de $A^*$ o no. Si no lo es, el operador $\lambda I -A^*$ es un automorfismo de $V$ desde $\lambda I-A^*$ siendo singular equivale a $\lambda$ siendo un valor propio de $A^*$ . En particular, esto significa que $\langle v, z\rangle = 0$ para todos $z\in V$ . Pero como $\langle\cdot,\cdot\rangle$ es no degenerado, esto implica que $v=0$ . Una contradicción. $\lambda$ debe ser un valor propio de $A^*$ para empezar. Así, cada valor propio de $A$ es un valor propio de $A^*$ . La otra inclusión puede derivarse de forma similar.

¿Cómo podemos utilizar esto en su caso? Creo que estás trabajando sobre un espacio vectorial real y considerando el producto punto como tu forma bilineal. Ahora considera un endomorfismo $T$ de $\Bbb R^n$ que viene dado por $T(x)=Ax$ para algunos $n\times n$ matriz $A$ . Sucede que para todos los $y\in\Bbb R^n$ tenemos $T^*(y)=A^t y$ . Desde $T$ y $T^*$ tienen los mismos valores propios, por lo que $A$ y $A^t$ .

Answer 3

$$ \operatorname{det}(A-tI) = \operatorname{det}(A-tI)^T = \operatorname{det}(A^T-tI)$$ Una matriz y su transposición tienen el mismo determinante. Si se aplican las propiedades de la transposición, se obtiene que ambas $A$ y su transposición tienen el mismo polinomio característico.

Answer 4

Aquí hay otra prueba: Supongamos que $v$ es un vector propio de $A$ con valor propio $\lambda$ es decir $Av = \lambda v$ . Entonces $v^T A^T = (Av)^T = \lambda v^T$ . Esto significa que $v^T(A^T - \lambda I) = 0$ . Así, $v^T$ es un vector propio izquierdo de $A^T$ . Si $A^T - \lambda I$ era invertible, entonces multiplicar por la derecha con la inversa lleva a $v=0$ que es una contradicción.