Necesito demostrar eso si $|f_n|\leq g$, $g$ es integrable, y $\{f_n\}$ es uniformemente integrable, es decir, $\underset{a\rightarrow\infty}\lim\sup_n\int_{[|f_n|\geq a]} |f_n| d\mu=0$.
Aquí es cómo él pensó: desde $|f_n|\leq g$ y $g$ es integrable, entonces cada $f_n$ es integrable. Así, por cada $n$, $|f_n| I_{[|f_n|\geq a]}\leq |f_n|$ $|f_n| I_{[|f_n|\geq a]}\rightarrow 0$ casi en todas partes, por lo tanto, por Lebesgue dominó Teorema de la convergencia, tenemos $\underset{a\rightarrow\infty}\lim\int_{[|f_n|\geq a]} |f_n|d\mu=0$ cada $n$ y por lo tanto, $$0=\sup_n \lim_{a\rightarrow\infty}\int_{[|f_n|\geq a]}|f_n|d\mu=\lim_{a\rightarrow\infty}\sup_n\int_{[|f_n|\geq a]}|f_n|d\mu.$ $
¿Sin embargo, no estoy tan seguro sobre el último paso de cruzando el límite y supremum? ¿Pensamientos?