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Integrbility uniforme

Necesito demostrar eso si $|f_n|\leq g$, $g$ es integrable, y $\{f_n\}$ es uniformemente integrable, es decir, $\underset{a\rightarrow\infty}\lim\sup_n\int_{[|f_n|\geq a]} |f_n| d\mu=0$.

Aquí es cómo él pensó: desde $|f_n|\leq g$ y $g$ es integrable, entonces cada $f_n$ es integrable. Así, por cada $n$, $|f_n| I_{[|f_n|\geq a]}\leq |f_n|$ $|f_n| I_{[|f_n|\geq a]}\rightarrow 0$ casi en todas partes, por lo tanto, por Lebesgue dominó Teorema de la convergencia, tenemos $\underset{a\rightarrow\infty}\lim\int_{[|f_n|\geq a]} |f_n|d\mu=0$ cada $n$ y por lo tanto, $$0=\sup_n \lim_{a\rightarrow\infty}\int_{[|f_n|\geq a]}|f_n|d\mu=\lim_{a\rightarrow\infty}\sup_n\int_{[|f_n|\geq a]}|f_n|d\mu.$ $

¿Sin embargo, no estoy tan seguro sobre el último paso de cruzando el límite y supremum? ¿Pensamientos?

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user223729 Puntos 116

Puede que funcione para tener en cuenta que $\sup_n |f_n|$ sí es medible y acotada por $g$, por lo que es integrable; y $$\lim_{a \rightarrow \infty} \int_{|f_k| \ge a} \sup_n |f_n| \, \mathrm{d}\mu = 0 \; \; \mathrm{for} \; \mathrm{every} \; k$ $ por el argumento dio anteriormente. Esto debería ser suficiente.

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