Prueba de la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Question

Estoy tratando de entender la prueba de Cauchy-Schwarz desigualdad: por dos elementos x e y de un producto interior espacio que tenemos

$$\lvert \langle x,y\rangle\rvert \leq\lVert x \rVert \cdot\lVert y\lVert$$

La prueba de que estoy leyendo va como sigue:

Podemos suponer que la $y\neq0$$\lVert y\rVert=1$. De hecho, la de Cauchy-Schwarz desigualdad se cumple cuando y=0. Si $y\neq0$ $z=\frac{y}{\lVert y\rVert}$ tiene una longitud de 1. Así que si $\lvert \langle x,z\rangle\rvert\leq \lVert x\rVert$ sostiene , a continuación, $$\lvert \langle x,z\rangle\rvert=\frac{\langle x,y\rangle}{\lVert y\rVert}\leq\lVert x\rVert$$ a partir de que $\lvert \langle x,y\rangle\rvert \leq\lVert x\rVert \cdot\lVert y\rVert$ sigue.

La confusión en la parte que está en negrita, ¿por qué esta desigualdad se mantenga en general?

Answer 1

El argumento dado en la pregunta no es mucho de una prueba, ya que el "duro" de la parte es demostrar que para una unidad de $z$ tenemos $|<x,z>| \le ||x||$. Ciertamente, admite la interpretación en términos de la proyección dada por cheepychappy, sin embargo, esto no es nada menos que la interpretación de la de Cauchy-Schwarz desigualdad en sí misma.

La prueba de que yo recomiendo es como sigue. Considere la posibilidad de $x,y$ cualquier vectores en un espacio vectorial complejo. Entonces para cualquier $r>0$ y real de la $\theta$ aumentan las desigualdades $<x+re^{i\theta}y,x+re^{i\theta}y> \ge 0$ para obtener una condición en la que las raíces de un polinomio de segundo grado en la variable $r$. Expresar esta condición en términos de los coeficientes del polinomio (que incluirá $||x||, ||y||, |<x,y>|$). Lo que usted va a obtener va a ser el C-S de la desigualdad.

Answer 2

Si crees que el % de producto interno $\lvert \langle x,z\rangle\rvert$como la proyección de $x$ en la dirección de $z$, y esa proyección tiene la longitud $\lVert x \rVert \cdot \lVert z \rVert \cdot \cos(\theta)$, el hecho de que $\cos(\theta)$ tiene un límite superior de $1$, significa que el $\lvert \langle x,z\rangle\rvert\leq \lVert x\rVert$ cuando $\lVert z \rVert = 1$.