Cómo demostrar este $\tan{x}>\frac{3x}{2+\sqrt{1-x^2}}$

Question

que $0<x<1$, prueban que $$\tan{x}>\dfrac{3x}{2+\sqrt{1-x^2}}$ $

¿Este problema tiene solución agradable?

mi idea: que $$f(x)=\tan{x}-\dfrac{3x}{2+\sqrt{1-x^2}}=\tan{x}-3x\dfrac{2-\sqrt{1-x^2}}{3+x^2}$ $

y otra idea: no $x=\cos{t}$, $$\tan{(\cos{x})}>\dfrac{3\cos{t}}{2+\sin{t}}$ $

otra idea (2): $$\tan{x}>x+\dfrac{1}{3}x^3$ $

Answer 1

Su idea funciona igual de bien.

Tenemos que demostrar que el $$ \cos{t} + \frac{\cos{t}^3}{3} > \frac{3\cos{t}}{2+\sin{t}} $$ Desde $x$ varía entre el $(0,1)$, tanto en el pecado(t) y cos(t) puede variar en (0,1). Que reduce nuestra desigualdad: $$ 1 + \frac{\cos^2{t}}{3} > \frac{3}{2+\sin{t}} $$

Expresar cos en términos de pecado, y además de simplificar obtenemos: $$ (2+\sin{t})^2(2-\sin{t}) > 3 $$

Sustituimos $y = \sin{t}$ donde $y \in (0,1)$: $$ -y^3 -2y^2 + 4y + 8 > 3 $$

El análisis de la derivada de la LHS, podemos encontrar fácilmente que el mínimo valor del polinomio en $(0,1)$$8$, y por lo tanto, la desigualdad se cumple en el intervalo dado.

Answer 2

\We Mostrar equivalente eso si $0\lt x\lt 1$ y $$x\cot x\lt \frac{2+\sqrt{1-x^2}}{3}.\tag{1}$ $ utilizamos el hecho de que $x\cot x\lt 1-\frac{x^2}{3}$ en el intervalo. Por eso queremos mostrar que %#% $ #%

Se multiplica a través de $$1-\frac{x^2}{3}\lt \frac{2+\sqrt{1-x^2}}{3}.\tag{2}$ y reorganizar. Desigualdad (2) es equivalente a $3$, que es clara.

Answer 3

por qué no vas por el método de cálculo.

asumir $ f(x) = tanx-3x/2+\sqrt{1+x^2} $.

diferenciar w.r.t x

tenemos $ f'(x) = sec^{2}x - 3/(2+\sqrt{1+x^2} + 3(x^2)/(2+\sqrt{1+x^2})^2 * 1/\sqrt{1+x^2} $,

en el intervalo dado, $ f'(x) > 0 $, lo que implica es una función creciente. Sabemos que $f'(x) > 0 <=> f(x) > 0 .$.

así $ tanx > 3x/1+\sqrt{+x^2} $