Cómo el cálculo: $\int \frac{dx}{3\sin^2 x+5\cos^2x}?$

Question

¿Cómo puedo calcular esta integral?

$$\int \frac{dx}{3\sin^2 x+5\cos^2x}=\text{?}$$

¡Gracias! He probado usando la substitución universal pero el resultado fue demasiado complicado integrarse de alguna manera. ¿Por favor me puede dar un Consejo útil?

Answer 1

% Ajuste $x=\arctan t$, así que $dx=\frac{dt}{1+t^2}$, obtenemos: $$\int \frac{dx}{3\sin^2 x+5\cos^2 x} = \int \frac{dx}{3+2\cos^2 x} = \int \frac{dt}{(1+t^2)\left(3+\frac{2}{1+t^2}\right)}=\int\frac{dt}{5+3t^2}$ $ así: $$\int \frac{dx}{3\sin^2 x+5\cos^2 x} = C+\frac{1}{\sqrt{15}}\arctan\left(\sqrt{\frac{3}{5}} t\right)=C+\frac{1}{\sqrt{15}}\arctan\left(\sqrt{\frac{3}{5}} \tan x\right).$ $

Answer 2

$$\begin{gathered} \int {\frac{1} {{3{{\sin }^2}x + 5{{\cos }^2}x}}dx} = \int {\frac{1} {{\left( {3\frac{{{{\sin }^2}x}} {{{{\cos }^2}x}} + 5} \right){{\cos }^2}x}}dx} = \int {\frac{1} {{3{{\tan }^2}x + 5}}d\left( {\tan x} \right)} \hfill \\ = \frac{1} {3}\int {\frac{1} {{{{\tan }^2}x + \frac{5} {3}}}d\left( {\tan x} \right)} = \frac{1} {3}.\frac{1} {{\sqrt {5/3} }}\arctan \left( {\frac{{\tan x}} {{\sqrt {5/3} }}} \right) + C = \frac{1} {{\sqrt {15} }}\arctan \left( {\sqrt {\frac{3} {5}} \tan x} \right) + C \hfill \\ \end{se reunieron} $$

Answer 3

En primer lugar, multiplique arriba y abajo por $\sec^2x$ para obtener

$$\int\frac{\sec^2x\,dx}{3\tan^2x+5}$$

Ahora sustituye $u=\tan x$ como JWL sugerido.

Answer 4

HINT:$$\dfrac{1}{3{\sin^2 x}+5{\cos^2x}}=\dfrac{1+{\tan^2 x}}{5+3{\tan^2 x}}$$ and $$d(\tan x)=\sec^2x dx$$

Answer 5

En el primer suplente: $$\int \frac{dx}{3\sin^2\left(x\right)+5\cos^2\left(x\right)}dx = \int \frac{1}{3\sin^2\left(\arctan\left(u\right)\right) + 5\cos^2\left(\arctan\left(u\right)\right)}\frac{1}{1+u^2}du$dx=\frac $ where $$ and $x=\arctan\left (u\right) {1} {1 + u ^ 2} $du. Entonces podemos escribir esto como $$\int \frac{1}{\left(u^2+1\right)\left(\frac{3u^2}{u^2+1}+\frac{5}{u^2+1}\right)}du=\int \frac{1}{3u^2+5}$ $ permite sustituya otra vez, donde $u=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}v$ y $du=\sqrt{\frac{5}{3}}dv$: $$\int \frac{1}{3\left(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}v\right)^2+5}\sqrt{\frac{5}{3}}dv=\int \frac{1}{\sqrt{15}\left(v^2+1\right)}dv=\frac{1}{\sqrt{15}}\int \frac{1}{v^2+1}dv$ $ como sabemos esta relación, directamente podemos escribir $\frac{1}{\sqrt{15}}\arctan\left(v\right)$, entonces va la sustitución hacia atrás: $$\frac{\arctan\left(\sqrt{\frac{3}{5}}\tan\left(x\right)\right)}{\sqrt{15}}$ Mus$: $$\int \frac{dx}{3\sin^2\left(x\right)+5\cos^2\left(x\right)}dx = \frac{\arctan\left(\sqrt{\frac{3}{5}}\tan\left(x\right)\right)}{\sqrt{15}} + C$ $