Límite inverso de $\mathbb{Z}/(n!)\mathbb{Z}$

Question

Me interesa saber si hay un nombre estándar para el límite inversa, $\hat{\mathbb{Z}}_!$, es decir, la inversa del sistema de anillos de $$\ldots \rightarrow \mathbb{Z}/((n+1)!)\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/(n!)\mathbb{Z} \rightarrow \ldots$$

$\hat{\mathbb{Z}}_!$ se encuentra en la misma relación para el factorial del sistema de representaciones de los números enteros como el anillo de $\hat{\mathbb{Z}}_p$ $p$- ádico enteros tiene a la base $p$ sistema. Ha $\hat{\mathbb{Z}}_p$ como un cociente. Estoy en lo cierto al pensar que $\hat{\mathbb{Z}}_!$ no es el mismo que el profinite la terminación de los números enteros (es decir, el límite inversa de la inversa del sistema que comprende a todos los anillos cociente de $\mathbb{Z}$), ya que este último no es una integral de dominio?

Los punteros a las referencias, se agradecería.

Answer 1

He visto este límite inversa llamado la $\mathbb Z$-ádico de la finalización de $\mathbb Z$. A menos que yo estoy muy confundido, este es el mismo (es decir, canónicamente isomorfo a) el límite inversa de todo lo finito cocientes de $\mathbb Z$, debido a que la secuencia de cocientes en su pregunta es cofinal (o coinitial, dependiendo de la dirección que usted está mirando) en la inversa del sistema de todos finito de coeficientes. También, a menos que yo estoy más confundido, este anillo es (canónicamente isomorfo a) el producto directo, sobre todos los números primos $p$, de la $p$-ádico terminaciones $\hat{\mathbb Z}_p$.

Answer 2

Deje $\hat{\mathbb Z}$ ser la inversa límite de $\{\mathbb Z/n\}$ natural, mapas de $\mathbb Z/n\to \mathbb Z/d$ al $d|n$.

Luego de dar cualquier secuencia de números de $n_1,n_2,\dots$, de tal manera que $n_i|n_{i+1}$, y para cada $n$ existe $i$ tal que $n|n_i$, tenemos que el límite inversa de la cadena:

$$\mathbb Z/n_1\leftarrow \mathbb Z/n_2\leftarrow \dots$$

es isomorfo a $\hat{\mathbb Z}$.

Esta es una propiedad general de la inversa de los límites.

Más generalmente, si $n_1\mid n_2\mid n_3\dots$, entonces usted puede definir para cada uno de los prime $p$$k_p=\sup\{k|\exists i:p^k|n_i\}$. A continuación, el límite inversa de a $\mathbb Z/n_i$ $\prod_p\mathbb Z/p^{k_p}$ donde, por $\mathbb Z/p^{\infty}$ nos referimos a la $p$-ádico enteros.

Otra forma de ver que en este caso es en el isomorfismo $\mathbb Z/n \cong \prod_p \mathbb Z/p^{\nu_p(n)}$. Claramente, esta factorización se compromete al $d|n$ - el mapa de $\mathbb Z/n\to \mathbb Z/d$ corresponde al producto de los mapas de $\mathbb Z/p^{\nu_p(n)}\to\mathbb Z/p^{\nu_p(d)}$. Así que el límite inversa es el producto de los límites de la $\mathbb Z/p^{\nu_p(n_i)}$.

Usted puede encontrar los divisores de cero en el límite inversa con bastante facilidad. Fix $p$, y para cada una de las $n$, utilice el teorema del resto Chino para encontrar$a_n\in\mathbb Z/n!$, de modo que $a_n\equiv 1\pmod{p^{\nu_p(n!)}}$ y $a_n\equiv 0\pmod {n!/p^{\nu_p(n!)}}$. $a_n$ es único, y $a_{n+1}\to a_n$ al mapa de $\mathbb Z/(n+1)!\to \mathbb Z/n!$. Desde cada una de las $a_n$ es un idempotente en $\mathbb Z/n!$, la secuencia de $(a_n)$ es un idemptotent en el límite inversa, y es distinto de cero. Por lo $(a_n)(1-a_n)=0$ en el límite inversa.