Pregunta de locura instantánea

Question

Mi pregunta se refiere a las condiciones necesarias que debe cumplir un gráfico para satisfacer locura instantánea problema.

Ahora toma por ejemplo los colores de la cara izquierda, derecha, delantera y trasera de los cuatro cubos (los colores son rojo, negro, verde y blanco):

Front   Back    Right    Left
R       W         R       G
G       W         W       B
G       B         G       W
B       R         B       R

Ahora, como se puede ver en la parte delantera y trasera, el verde y el blanco aparecen dos veces, respectivamente, lo que viola el problema. Pero si hacemos su gráfico, sus gráficos cumplen todas las condiciones:
1.el gráfico puede disociarse en dos subgrafos de aristas disjuntas
2.cada subgrafo tiene vértices de grado 2
3.cada subgrafo tiene todas las aristas que representan los cuatro cubos una vez

Nota: Apilo los cubos uno encima de otro. Esto es diferente del enlace que di en el que los cubos se mantienen en el lado de la otra

Answer 1

Entiendo que hay que jugar con los cubos para obtener la respuesta. Sólo sabes cuáles van a ser los frentes y los fondos; y las izquierdas y las derechas de cada cubo.

"Para resolver el juego, el primer gráfico representa las caras delantera y trasera, y el segundo gráfico representa las caras superior e inferior. Alinea los cubos según las aristas que tengas en tus dos gráficos. Hay que elegir cómo hacerlo; por ejemplo, en el juego de arriba, el cubo 1 tiene las caras delantera y trasera azules y verdes, y las caras superior e inferior rojas y amarillas. Sin embargo, aún no sabemos si el azul está en la parte delantera o en la trasera. Es posible que tengas que jugar un poco para organizar tus cubos adecuadamente".

Creo que todos los cubos están bien como están excepto el segundo cubo. Si juegas con el segundo cubo, verás que si le das la vuelta (la parte delantera se convierte en la trasera, y la trasera en la delantera, pero la derecha sigue siendo la derecha y la izquierda sigue siendo la izquierda) entonces tienes una respuesta válida que se ajusta a tu gráfico.

EDIT: Creo que me he dado cuenta de algo. Si piensas en cada uno de los dos gráficos como un camino, en el que sólo puedes caminar en una dirección, entonces rellena las respuestas de esa manera. Así que fuiste de R a W, W a G, G a B, y B-R para el gráfico azul. Observa que se trata de un camino continuo, y puedes rellenar tu gráfico en ese orden. Lo mismo ocurre con el gráfico naranja, aunque las líneas 1 y 2 no estén conectadas. Piensa que el camino va del rojo al verde, al blanco, al negro y de nuevo al rojo. Por lo tanto, usted llenaría R a G, luego W a B, luego G a W, y luego B a R en su gráfico. No sé si esto es realmente cierto, pero es sólo una teoría.

Answer 2

Elegir una orientación de un cubo es como elegir dos aristas del cubo, una arista entre los vértices izquierdo y derecho y otra arista entre los vértices delantero y trasero. Pero también asigna una orientación a cada uno de estos bordes, porque no es lo mismo poner rojo en el anverso y verde en el reverso que poner rojo en el reverso y verde en el anverso.

Tienes que asignar una orientación a cada una de las cuatro aristas delanteras-traseras, seleccionando un vértice como vértice delantero y otro como vértice trasero. Cada uno de los cuatro vértices delanteros debe ser distinto, y cada uno de los cuatro vértices traseros debe ser distinto.

En tu foto los bordes son simétricos. Deberías poner flechas en ellas. Las flechas de las cuatro aristas delanteras pueden apuntar desde el vértice delantero al vértice trasero. Entonces las aristas se unen en caminos.

Supongamos ahora que la elección de las aristas y las flechas es en realidad una solución al rompecabezas. Considera las cuatro aristas de adelante hacia atrás. Empieza en un vértice, digamos el rojo. Debe haber precisamente una arista anverso-reverso que salga de este vértice, para que puedas seguirla hasta su correspondiente vértice posterior. Entonces (a no ser que el nuevo vértice sea también Rojo) puedes volver a hacerlo. Puedes repetir esto hasta que vuelvas al punto de partida. (Esto debe ocurrir; nunca se vuelve primero a ningún otro vértice). Esto define un ciclo simple en el gráfico. Ahora, si todavía no has visitado los cuatro vértices, puedes elegir otro vértice para empezar y encontrar otro ciclo. Esto continuará hasta que tengas un conjunto de entre uno y cuatro ciclos simples que contengan las cuatro aristas norte-sur y que juntos contengan cada vértice una vez. Llamemos al gráfico que es la unión de estos ciclos " $FB$ ”.

Ahora podemos hacer lo mismo para las aristas izquierda-derecha, y generar otro gráfico $LR$ . Ambos $FB$ y $LR$ son subgrafos que tienen cuatro aristas cada uno, una de cada cubo. Son disjuntos. Y cada uno es una unión de ciclos simples disjuntos.

Encontrar este tipo de $FB$ y $LR$ a menudo puede hacerse simplemente inspeccionando el gráfico completo de 12 aristas. Una vez que hemos encontrado esto, tenemos una solución al problema. (En general, para un número arbitrario de cubos, es un problema difícil).

Ahora veamos de nuevo tu gráfico:

Claramente podemos tomar los bordes rojos como el $FB$ y los bordes azules para ser el $LR$ conjunto. Pero también tenemos que asignar orientaciones a las aristas, para que el rojo $FB$ está formado por ciclos simples y lo mismo para el subgrafo azul $LR$ subgrafo. Para el subgrafo rojo podríamos asignar las orientaciones de manera que el camino vaya del rojo al verde, al blanco, al negro y al rojo, lo que corresponde a la solución parcial:

  Front  Back
  R      G
  G      W
  W      B
  B      R

Pero la solución que propones sí:

  Front   Back 
  R       W    
  G       W   
  G       B   
  B       R   

Esto no forma un ciclo, porque el $G$ tiene dos aristas que salen de él, y el $W$ vértice tiene dos aristas que entran en él. Por lo tanto, no es, de hecho, una solución al rompecabezas.