Podemos utilizar la topología diferencial para demostrar que cada liso nudo tiene un regular de proyección?
He aquí algunos antecedentes:
Deje $\gamma : S^1 \rightarrow \mathbb{R}^3$ ser un suave unidad de velocidad incrustadas. Para $v \in S^2$ podemos decir que la proyección, $\pi _v$, $\mathbb{R}^3$ al plano ortogonal a $v$ es regular la proyección de $\gamma$ si la curva de $\gamma _v := \pi _v\circ \gamma$ tiene las siguientes propiedades:
$\gamma _v$ es una inmersión
Existe un conjunto finito $I := \{a_1, a_2, ..., a_k, b_1, b_2,... b_k\} \subset S^1$ tal que $\gamma _v |_{S^1-I}$ es inyectiva, y $\gamma _v (a_i) = \gamma _v (b_i)$ son distintos puntos, tales que para cada $i$, $\gamma _v'(a_i)$ y $\gamma _v' (b_i)$ son linearlly independiente.
Ahora fijar un determinado $\gamma$. Para mí, la tarea de demostrar la existencia de una proyección parece un trabajo para la topología diferencial, y, en particular, del teorema de Sard. Por ejemplo, se sigue inmediatamente de la Adrs del teorema de que la primera condición se cumple para casi todos los $v \in S^2$ desde la imagen del mapa de $S^1 \rightarrow S^2, s \mapsto \gamma '(s)$ tiene medida cero.
He estado tratando de demostrar algo similar sobre el conjunto de la $v$ que cumplen la segunda condición, pero no he tenido éxito. Para dar una idea de el tipo de herramientas que me estaba esperando para el uso que voy a explicar mis intentos.
Una idea que yo tenía era la de considerar el mapa $$f: S^1 \times S^1 - \Delta \rightarrow \mathbb{R}, (s,t) \mapsto (\gamma '(s) \times \gamma ' (t)) \cdot (\gamma (s) - \gamma (t))$$ where $\Delta$ is the diagonal in the torus, $\times$ is the cross product and $\cdot$ is the dot product. Then $f(s, t) = 0$ iff either {$\gamma (s) - \gamma (t)$ lies in the plane spanned by $\gamma '(s)$ and $\gamma ' (t)$} or {$\gamma '(s)$ is parallel to $\gamma '(t)$}. In either case, this means $\gamma (s)$ and $\gamma (t)$ must not project to the same point if the projection is to be regular. This rules out the one dimensional subspace spanned by $\gamma (s) -\gamma (t)$. Now if $0$ were a regular value for $f$ then $f^{-1}(0)$ would be a submanifold of dimension $1$. We could then consider the smooth map $$f^{-1}(0) \rightarrow \mathbb{R}P^2, (s,t) \rightarrow [\gamma (s) -\gamma (t)]$$ and apply Sard's theorem to find that almost every $v \in S^2$ also satisfies condition 2. However, as far as I can tell, there is no good reason $0$ should be a regular value for $f$. Maybe we could pick an isotope of $\gamma$ con esta propiedad? Por otra parte esto no descarta la posibilidad de que 3 o más puntos en la curva de proyecto para el mismo punto.
