Necesito ayuda para entender la demostración del Teorema de Elevación para $H^1$ -funciones.

Question

El teorema de Lifiting de Béthuel [1,Lem.4.2] dice

Teorema Supongamos que $\mathbb{T}^3 \simeq \Omega=[-\pi n, \pi n]$ es el toro tridimensional que se obtiene al identificar las aristas opuestas.

Supongamos además $v \in H^1(\mathbb{T}^3,\mathbb{C}) \simeq H^1_{per}(\Omega, \mathbb{C})$ con \begin{equation} \vert v(x) \vert \geq \frac{1}{2} ~ \forall x \in \mathbb{T}^3. \end{equation}

Entonces se puede reescribir $v=\vert v \vert \exp(i \varphi)$ con $\varphi \in H^1(\mathbb{T}^3,\mathbb{R})$ .

Prueba Como $\vert v \vert \geq \frac{1}{2}$ podemos escribir $v= \vert v \vert w$ con $\vert w \vert=1$ .

Pregunta 1 ¿Por qué es $\vert v \vert \geq \frac{1}{2}$ necesario para obtener $v= \vert v \vert w$ ? ¿No puedo hacer eso para cada función que mapea a $\mathbb{C}$ ?

A continuación, calculamos $d(w \times dw) =0 $ y por lo tanto la descomposición de Hodge-de-Rham se escribe como \begin{equation} w \times dw = d \varphi + \sum_{j=1}^3 \alpha_j d x_j \end{equation} donde $\alpha_j \in \mathbb{R}$ y $\varphi \in H^1(\mathbb{T}^3,\mathbb{C})$ .

Pregunta 2 ¿Cómo calcula $d(w \times dw)$ ? ¿Por qué es posible? No tenemos ninguna regularidad de $w$ hasta ahora y pensé que la forma diferencial \begin{equation} dw(x) = \sum_{i=1}^3 w_{x_i}(x) dx_i(x) \in (\mathbb{R}^n)^\ast\end{equation} no está definida para funciones no suaves $w$ .

Todo lo demás se deduce de las propiedades de la descomposición de Hodge-de-Rham.

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[1] Béthuel, F., P. Gravejat y J. C. Saut: Ondas viajeras para el Gross- Pitaevskii. II. Comm. Math. Phys., 285(2):567-651, 2009.

Answer 1

Pregunta 1 ¿Por qué es $|v|\ge \frac12$ necesario para obtener $v=|v|w$ ?

Nadie dijo que fuera necesario. La afirmación "Desde $A$ se deduce que $B$ " no contiene una implicación de que $A$ es necesario para $B$ . Más bien, dice que $A$ es suficiente para $B$ .

La restricción $|v|\ge \frac12$ es importante más adelante en la prueba (aunque el valor particular $\frac12$ también podría sustituirse por cualquier número positivo).

Lo que los autores querían decir realmente podría ser "Como $v\ne 0$ podemos escribir $v=|v|w$ con $|w|=1$ , donde $w$ está determinada de forma única por $v$ ".

No tenemos ninguna regularidad de $w$ hasta ahora

En realidad sí, y aquí es donde $|v|\ge 1/2$ se utiliza. El mapa $z\mapsto z/|z|$ es Lipschitz en el conjunto $\{z:|z|\ge 1/2\}$ . Es bien sabido que la composición con una función Lipschitz preserva los espacios de Sobolev de primer orden. Por lo tanto, $w\in H^1(\mathbb T^3)$ .

Pregunta 2 ¿Cómo calcula $d(w\times dw)$ ?

Como se ha explicado anteriormente, $dw$ tiene sentido: es un formulario con $L^2$ coeficientes. Para el significado de $d(w\times dw)$ véase el texto después de la Observación 4.2: es el jacobiano de $w$ , pensada como un mapa dentro del plano. Se forma multiplicando las derivadas de primer orden de $w$ y, por lo tanto, se trata de un $L^1$ función.

Desde $w$ toma valores en el círculo, el $2\times 3$ matriz de sus derivadas parciales tiene rango $1$ y por eso el jacobiano desaparece.