Demostrar la desigualdad $a^3+2 \geq a^2+2 \sqrt{a}$

Question

Demostrar la desigualdad $a^3+2 \geq a^2+2 \sqrt{a},a \geq 0.$

Una forma de hacerlo es utilizando la fórmula $$ a^3+2 - a^2-2 \sqrt{a}=(\sqrt{a}-1)^2(1+(a+1)(\sqrt{a}+1)^2) \geq 0. $$

Pero espero que haya una forma mejor.

Answer 1

Puedes hacerlo con la desigualdad AM-GM: $$ \frac{a^3+a^3+1}{3}\ge \left(a^3\cdot a^3\cdot 1\right)^{\frac{1}{3}}=a^2 $$ $$ 2\cdot\frac{a^3+1+1+1+1+1}{6}\ge 2\cdot\left(a^3\cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \right)^{\frac{1}{6}}=2\sqrt{a} $$ Sumando estas desigualdades se obtiene el resultado deseado.

Answer 2

Sustituir $a=b^2$ entonces $a^3-a^2-2\sqrt a+2=b^6-b^4-2b+2$ que tiene $1$ como una raíz, por lo que podemos factorizarla: $$b^6-b^4-2b+2=(b-1)(b^5+b^4-2)$$ El polinomio $b^5+b^4-2$ tiene todavía uno como raíz, así que factor más: $$b^5+b^4-2=(b-1)(b^4+2b^3+2b^2+2b+2)$$ Así que $a^3-a^2-2=(b-1)^2(b^4+2b^3+2b^2+2b+2)$ que es no negativo para $b\ge 0$ .