Ayuda con esta combinatoria prueba $\sum\limits_{k=1}^nk^2(k-1){n\choose k}^2 = n^2(n-1){2n-3\choose n-2}$ $n\ge2$ teniendo en cuenta

Question

$\displaystyle\sum\limits_{k=1}^nk^2(k-1){n\elegir k}^2 = n^2(n-1) {2n-3\elegir n-2}$ considering $n\ge2$

Puede alguien ayudar con este combinatoria prueba? Yo estoy luchando mucho. Gracias.

EDIT: Ok. Pude averiguar, si tenemos $\displaystyle\sum\limits_{k=1}^nk^2{n\elegir k}^2 = n^2 {2n-2\elegir n-1}$.

El problema es que no entiendo qué hacer con ese $(k-1)$, y la forma en que conduce a ${2n-3\choose n-2}$.

Sé $k{n\choose k} = n{n-1\choose k-1}$

La elección de un equipo de $k$ elementos de $n$ y a partir de ese $k$ elementos, elegir un capitán es el mismo que elegir un capitán primero, y luego, complete el equipo eligiendo $k-1$ elementos de $n-1$

Pero, ¿qué acerca de la $k(k-1){n\choose k}$ ?

Answer 1

Sugerencia: tenga en cuenta que debido a la elección de $k$ elementos de un conjunto de $n$ es lo mismo que elegir el complemento de la $k$ elementos, tenemos $$ \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\etiqueta{1} $$ y desde la elección de un equipo de $k$ de la gente y, a continuación, un líder de los elegidos es la misma que la elección de un líder y, a continuación, la elección de los restantes $k-1$ desde el resto de $n-1$, obtenemos $$ k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1}\etiqueta{2} $$ y $$ k^2(k-1)=k(k-1)(k-2)+2k(k-1)\etiqueta{3} $$ A continuación, considere la posibilidad de Vandermonde de la Identidad.

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Solución Completa:

$$ \hspace{-5mm}\begin{align} &\sum_{k=1}^nk^2(k-1)\binom{n}{k}^2\\ &=\sum_{k=1}^nk(k-1)(k-2)\binom{n}{k}\binom{n}{n-k}+2\sum_{k=1}^nk(k-1)\binom{n}{k}\binom{n}{n-k}\tag{4}\\ &=n(n-1)(n-2)\sum_{k=1}^n\binom{n-3}{k-3}\binom{n}{n-k}+2n(n-1)\sum_{k=1}^n\binom{n-2}{k-2}\binom{n}{n-k}\tag{5}\\ &=n(n-1)(n-2)\binom{2n-3}{n-3}+2n(n-1)\binom{2n-2}{n-2}\tag{6}\\[4pt] &=(n-1)(n-2)^2\binom{2n-3}{n-2}+4(n-1)^2\binom{2n-2}{n}\tag{7}\\[4pt] &=n^2(n-1)\binom{2n-3}{n-2}\tag{8} \end{align} $$ Explicación:
$(4)$: aplicar $(1)$ $(3)$
$(5)$: aplicar $(2)$ varias veces
$(6)$: Vandermonde Identidad
$(7)$: $\binom{2n-3}{n-3}\stackrel{(1)}=\binom{2n-3}{n}\stackrel{(2)}=\frac{2n-3}{n}\binom{2n-4}{n-1}\stackrel{(1)}=\frac{2n-3}{n}\binom{2n-4}{n-3}\stackrel{(2)}=\frac{n-2}{n}\binom{2n-3}{n-2}$
$(7)$: $\binom{2n-2}{n-2}\stackrel{(1)}=\binom{2n-2}{n}\stackrel{(2)}=\frac{2n-2}{n}\binom{2n-3}{n-1}\stackrel{(1)}=\frac{2n-2}{n}\binom{2n-3}{n-2}$

Answer 2

Hay un factor de $n-1$ falta en el lado derecho de la ecuación. Debemos escribir la ecuación como $$\sum_{k=1}^n k (k-1){\binom{n}{k}}\cdot k{\binom{n}{n-k}}=n^2(n-1)\binom{2n-3}{n-2}.$ $ ahora cuenta el número de secuencias de longitud $2n$ en el alfabeto $\{a_0,a_1,a_2,b_0,b_1\}$ con $n$ %#% de #% (con cualquier subíndice) y $a$ % # % de #% (con cualquier subíndice) cumpla las siguientes condiciones adicionales. Hay exactamente una $n$, un $b$y un $a_1$. Además, $a_2$ y $b_1$ aparecen en la primera mitad de la secuencia y $a_1$ aparece en la segunda mitad.

Answer 3

$\newcommand{\+}{^{\daga}} \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, nº 1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\down}{\downarrow} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,} \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large Un}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}}$ $\ds{\sum_{k = 1}^{n}k^{2}\pars{k - 1}{n \elegir k}^{2} = n^{2}\pars{n - 1}{2n - 3 \elegir n - 2}}$

\begin{align} &\mbox{Lets consider}\quad \fermi\pars{x} \equiv \sum_{k = 0}^{n}{n \choose k}^{2}x^{k} \\&\mbox{such that}\quad \sum_{k = 1}^{n}k^{2}\pars{k - 1}{n \choose k}^{2} =\left.\bracks{\pars{x\,\partiald{}{x}}^{3} - \pars{x\,\partiald{}{x}}^{2}}\fermi\pars{x} \right\vert_{x\ =\ 1}\tag{1} \end{align}

De ahora en adelante vamos a utilizar la identidad $$\color{#c00000}{% {m \elegir n} = \int_{\verts{z} = 1}{\pars{1 + z}^{m} \over z^{n + 1}} \,{\dd z \más de 2\pi\ic}\,,\qquad m, n \in {\mathbb N}\,,\quad m \geq n}\etiqueta{2} $$

\begin{align} \fermi\pars{x}&=\sum_{k = 0}^{n}x^{k}{n \choose k} \int_{\verts{z} = 1}{\pars{1 + z}^{n} \over z^{k + 1}}\,{\dd z \over 2\pi\ic} =\int_{\verts{z} = 1}{\pars{1 + z}^{n} \over z} \sum_{k = 0}^{n}{n \choose k}\pars{x \over z}^{k}\,{\dd z \over 2\pi\ic} \\[3mm]&=\int_{\verts{z} = 1}{\pars{1 + z}^{n} \over z}\pars{1 + {x \over z}}^{n} \,{\dd z \over 2\pi\ic} =\int_{\verts{z} = 1}{\pars{1 + z}^{n} \over z^{n + 1}}\,\pars{x + z}^{n} \,{\dd z \over 2\pi\ic}\tag{3} \end{align}

Con $\pars{1}$ $\pars{3}$ tendremos: \begin{align} &\color{#00f}{\large\sum_{k = 1}^{n}k^{2}\pars{k - 1}{n \choose k}^{2}} \\[3mm]&=\int_{\verts{z} = 1}{\pars{1 + z}^{n} \over z^{n + 1}}\, n\pars{n - 1}\bracks{% \pars{n - 2}\pars{1 + z}^{n - 3} + 2\pars{1 + z}^{n - 2}}\,{\dd z \over 2\pi\ic} \\[3mm]&=n\pars{n -1}\pars{n - 2} \int_{\verts{z} = 1}{\pars{1 + z}^{2n - 3} \over z^{n + 1}}\,{\dd z \over 2\pi\ic} + 2n\pars{n -1} \int_{\verts{z} = 1}{\pars{1 + z}^{2n - 2} \over z^{n + 1}}\,{\dd z \over 2\pi\ic} \\[3mm]&=n\pars{n -1}\pars{n - 2}{2n - 3 \choose n} + 2n\pars{n -1}{2n - 2 \choose n} \\[3mm]&={\pars{2n - 3}! \over \pars{n - 3}!\pars{n - 3}!} + 2\,{\pars{2n - 2}! \over \pars{n - 2}!\pars{n - 2}!} \\[3mm]&={\pars{n - 1}\pars{n - 2}^{2} + 2\pars{n - 1}\pars{2n - 2} \over \pars{n - 2}!\pars{n - 1}!}\,\pars{2n - 3}! =\bracks{\pars{n - 2}^{2} + 4n - 4}\pars{n - 1} {2n - 3 \choose n - 2} \\[3mm]&=\color{#00f}{\large n^{2}\pars{n - 1}{2n - 3 \choose n - 2}} \end{align}