Continuo en cada camino continuo vs. Continuo

Question

Supongamos que $ F:\mathbb {R}^2 \rightarrow\mathbb {R}$ es tal que para todos los caminos continuos $g:[0,1] \rightarrow\mathbb {R}^2$ , $F(g(t))$ es continua.

¿Es la F continua?

Answer 1

Sí: Basta con mostrar que $F(x_k)$ converge en $F(x)$ para cualquier secuencia $(x_k)$ en $ \mathbb R^2$ que converge en $x$ . Esta convergencia sigue de la consideración de $g$ cuya imagen es la trayectoria poligonal a lo largo de esta secuencia ( $g(1-1/k) = x_k$ , $g(1) = x$ ).

Answer 2

Sí.

Supongamos que $F(0,0)=0$ y que $F$ no es continuo en $(0,0)$ . Entonces hay un $ \epsilon_0 >0$ y una secuencia $(z_n)_{n \geq1 }$ con $ \lim_ {n \to\infty } z_n=(0,0)$ y $|F(z_n)| \geq \epsilon_0 $ para todos $n \geq1 $ . Después de pasar a una subsecuente podemos asumir $|z_n| \leq 2^{-n}$ para todos $n \geq1 $ . Ponga $$g \left ({1 \over n} \right ):=z_n \quad (n \geq 1), \quad g(0)=0, \quad g(-t)=g(t)$$ y extender $g$ a una función lineal a destajo para $0<|t| \leq1 $ . Luego $g:\ [-1,1] \to { \mathbb R}^2$ es un camino continuo tal que $$t \mapsto F \bigl (g(t) \bigr )$$ no es continuo en $t=0$ .