Deje $f:\left\{x\in\mathbb{R}^n\vert\parallel x\parallel<1\right\}\rightarrow\mathbb{R}$ ser un uno-a-uno delimitada función continua.
Quiero construir una $f$ que no es uniformemente continua.
En este caso, he pensado que puede construir $f$ con una restricción $n=2$.
Pero estoy confundido porque $f$ es limitado, así que no puede usar funciones como $\frac{1}{x}$$(0,1)$.
Para rematar, $f$ es incluso uno-a-uno, así que me di por vencido y ahora estoy escribiendo esto para obtener un poco de ayuda de usted que es más inteligente que yo.
Por favor, dame un poco de ayuda para resolver este problema.
Gracias.
Respuestas
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Etienne
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Para $n=1$, como se ha señalado por Vishal, no hay tal función $f$.
Para$n\geq 2$, $f$ no existe, pero para un "trivial" de la razón: no es continuo y uno-a-uno la función del aparato abierto balón $B\subset\mathbb R^n$ a $\mathbb R$. Uno puede ver esto como sigue. Suponga que $f:B\to\mathbb R$ es continua y $1$-$1$. A continuación, $I=f(B)$ es un intervalo no trivial de $\mathbb R$ porque $B$ está conectado y $f$ es continua y no constante. Tomar cualquier punto de $a\in B$ tal que $f(a)$ es un punto interior de a $I$. A continuación, $f(B\setminus\{ a\})$ tiene que estar conectado porque $B\setminus\{ a\}$ está conectado ($n\geq 2$) y $f$ es continua. Pero $f(B\setminus\{ a\})$ es igual a $I\setminus \{ f(a)\}$ porque $f$ es $1$-$1$, y esto no es un conjunto conectado. Así que tenemos una contradicción.
Pablote
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Al menos para $n =1$, cualquier función tendrá un límite en los puntos finales de la $-1,1$ en este caso y por lo tanto tendrá una extensión en el intervalo de $[-1,1]$ y, por ello, será uniformemente continua. Así, usted no puede construir una función que desee en el caso de $n=1$.
Para dimensiones superiores, lo principal es examinar si el límite existe en la frontera de la bola cerrada (en el caso de $n=1$ uno-uno y la continuidad implica monotonía, que da el límite). Si hay un límite, entonces la función será de nuevo uniformemente continua.
Steve Brewer
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No se puede construir una función. Usted puede probar que $f$ tiene el límite en el límite de la cerrada de la pelota y $f$ será uniformemente continua.
Deje $U_n$ el de apertura de la unidad de pelota en $\mathbb{R}^n$. Considere la posibilidad de $f$ en el intervalo de $[0,x)\subset U_n$ que conecta el centro de la bola y el punto de $x$ desde el borde de la bola (es decir,$\|x\|=1$). Ahora consideremos $f$ $[0,x)$ y el uso que podemos considerar $f$ como una función de una variable: $f(y)=f(tx), t\in[0,1)$. Desde $f$ es continua en a $[0,x)$ y uno-a-uno, entonces es monótona y por lo tanto tiene el límite en $x$.
En realidad, debo tomar cualquier curva de $C$, que conecta el centro de la bola y el punto de $x$, en lugar de $[0,x)$. Pero ese caso es demostrado de manera similar.
