Ejemplos de monoid asimétrico trenzado

Question

De nCatlab https://ncatlab.org/nlab/show/braiding :

Cualquier trenzado de categoría monoidal tiene un isomorfismo natural

$$B_{x,y} \;\colon\; x \otimes y \to y \otimes x $$

llamado el trenzado.

Un trenzado de categoría monoidal simétrica si y sólo si $B_{x,y}$ $B_{y,x}$ son inversas (a pesar de que son isomorphisms independientemente).

Todo esto tiene sentido, pero yo estoy luchando para pensar en un caso en el que se quiera trabajar con una relación asimétrica de trenzado. Es claro para mí que la que puede existir, pero ... ¿hay ejemplos útiles?

Llegué a esta página https://ncatlab.org/nlab/show/associative+unital+álgebra donde se indica

Por otra parte, si $(\mathcal{C}, \otimes , 1)$ tiene la estructura de un monoidal simétrica categoría $(\mathcal{C}, \otimes, 1, B)$ simétrica con trenzado $\tau$, luego de un monoid $(A,\mu, e)$ como arriba se llama conmutativa monoid en $(\mathcal{C}, \otimes, 1, B)$ si además... [diagrama]

También me pregunto si esto era necesario, la simetría en el trenzado. Si el trenzado fue asimétrica, sino $\mu \circ B_{x,y} = \mu = \mu \circ (B_{y,x})^{-1}$, que todavía puede hacer sentido de la multiplicación de ser conmutativa. Parece que podríamos hacer útiles las declaraciones sobre el álgebra, incluso con un extraño trenzado como. Hay ejemplos de esto?

Answer 1

Es claro para mí que la que puede existir, pero ... ¿hay ejemplos útiles?

Absolutamente. Tal vez el histórico motivar ejemplo es el de las categorías de las representaciones de los grupos cuánticos, que puede ser utilizado para construir el nudo y el enlace de los invariantes tales como el polinomio de Jones. Si intenta jugar a este tipo de juego con un monoidal simétrica categoría se hace muy aburrido: por ejemplo, en un trenzado de categoría monoidal, si $V$ es un objeto, a continuación, $V^{\otimes n}$ natural adquiere una acción de la trenza de grupo $B_n$. Si el trenzado es simétrica, esta acción de factores a través del grupo simétrico, pero en general puede ser muy interesante (y eso es bueno, porque este tipo de cosas nos ayuda a entender las trenzas).

Trenzado monoidal también las categorías surgen de forma natural en homotopy teoría de la siguiente manera: si $X$ es la punta de su espacio, su doble bucle espacio de $\Omega^2 X$ es, naturalmente, un "trenzado monoid," o $E_2$ álgebra, y esto significa que su fundamental groupoid $\Pi_{\le 1}(\Omega^2 X)$ es, naturalmente, un trenzado monoidal groupoid. Cada trenzado monoidal groupoid todos cuyos objetos son invertible surge de esta manera, y pueden ser clasificadas utilizando el grupo de cohomology.

Answer 2

No es que usted quiere trabajar con un no-simétrica trenzado. A veces usted tiene que trabajar con uno, porque la categoría que tiene en la mano es simplemente un no-simétrica trenzado de categoría.

El ejemplo canónico es la categoría de trenzas. Usted desea para el estudio de las trenzas, y son un trenzado de categoría monoidal, pero por desgracia no es la simétrica de la categoría.

Hay muchos otros ejemplos, y tan pronto como usted embarcarse en el aprendizaje sobre el tema, verás que ambos son importantes y útiles. De Yetter-Drinfeld los módulos a través de un álgebra de Hopf a las representaciones de los grupos cuánticos para todo tipo de cosas extrañas.

Answer 3

Deje $A$ ser un álgebra asociativa. Usted probablemente sabe acerca de el centro $$Z(A) = \{ a \in A \mid \forall b \in A, ab = ba \},$$ el conjunto de elementos que conmutan con todos los demás. Es fácil demostrar que este es un conmutativa subalgebra de $A$. Es un lugar muy interesante de construcción para el estudio.

Ahora considere una categoría monoidal $\mathcal{C}$, moralmente un "álgebra asociativa en las categorías". Resulta que una cierta noción de centro existe para $\mathcal{C}$, llama la Drinfeld centro. Moralmente, es todavía "los elementos que conmutan con todos los demás", es decir, los objetos de $X$ tal que para todo $Y$, $X \otimes Y \cong Y \otimes X$.

El problema es que como es habitual en la categoría de teoría, estamos en busca de materia natural, y por lo tanto es mejor considerar los pares de $(X, \Phi)$ donde $X$ es un objeto y $\Phi$ es "una manera de viajar $X$ con todos los otros elementos", es decir, una transformación natural $X \otimes - \to - \otimes X$ – un llamado half-el trenzado. Resulta que dado un poco de $X$ que "conmuta con todos los demás objetos", puede haber varias maneras diferentes de lo que es conmuta con todos los demás objetos. Una de morfismos entre dos pares son cosas obvias, y de esta forma una categoría, se $\mathscr{Z}(\mathcal{C})$, el Drinfeld centro de $\mathcal{C}$.

Entonces es un teorema de Drinfeld, Majid, y Joyal–Calle^* que $\mathscr{Z}(\mathcal{C})$ es canónicamente un trenzado de categoría monoidal, y no un monoidal simétrica categoría como uno podría esperar. Si $\mathcal{C}$ es una categoría con un objeto, es decir, un monoid, a continuación, recuperar la noción usual de centro de un monoid, y esto es monoidal simétrica. Así que de monoids a las categorías, hemos perdido (o ganado?) algo: el centro de una categoría no es simétrica, sino trenzado.

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^* Si entiendo correctamente, fue desarrollado de forma independiente por Drinfeld y por Joyal–Calle, pero Drinfeld inicialmente no publicar nada al respecto y que apareció en un papel de Majid que atribuyó a una comunicación privada de Drinfeld. Yo estaría feliz de saber más detallado recuento histórico de este, TBH.