La probabilidad de ganar un torneo

Question

Pregunta editada:

Como prometí, he editado esta pregunta. La versión anterior fue escrita con la intención de simplificar la verdadera pregunta, pero terminó perdiendo el verdadero significado. Ahora estoy publicando la "historia completa". ;)

Mi propósito es calcular $n$ la equidad de los jugadores en un torneo de póquer (su probabilidad de terminar el torneo) en cada $j$ lugar (1er, 2do, y así sucesivamente).

He resuelto previamente este problema de dos maneras diferentes que puedes encontrar aquí:

Para las matemáticas:

http://math.stackexchange.com/questions/92942/applying-a-math-formula-in-a-more-elegant-way-maybe-a-recursive-call-would-do-t

Y para el código:

http://stackoverflow.com/questions/8605183/how-to-translate-this-math-formula-in-php

Así que, cuando sé el número de fichas de cada jugador, puedo aplicar fácilmente esas fórmulas y obtener su equidad.

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Hay 2 problemas involucrados que esperamos puedan ser resueltos con un método estadístico. (No soy matemático, así que no estoy seguro de que sea factible).

1. Primer problema, aunque conozco la pila de todos, cuando el número de jugadores es alto, el código es demasiado lento para ser implementado;
2. Segundo problema, este código debería funcionar conociendo sólo un número limitado de pilas, pertenecientes a los jugadores de la mesa analizada.

Optimistamente estos dos problemas pueden ser resueltos con algún tipo de aproximación.

En particular, las fórmulas mencionadas deberían ser aplicables a los escenarios con 27,45,90 jugadores que se distribuyen en tablas de 9.

Por ejemplo, en el caso de 27 jugadores habría 3 mesas: cuando queden 18 jugadores se redistribuirán en 2 mesas y cuando sólo queden 9 se abrirá la mesa final. No es importante tener en cuenta la habilidad de los jugadores ya que es un juego de alta variabilidad donde su influencia se reduce al mínimo, y sobre todo hay tiradas de monedas que eliminan a los jugadores.

Así que estoy en una situación en la que sé:

• Mi número de fichas.
• El número de fichas de los otros 8 jugadores de mi mesa.
• El número total de fichas.
• El número promedio de fichas.
• El número máximo y mínimo de fichas.

Como sugerí en la pregunta anterior, esto me parece (por mis humildes habilidades matemáticas) una curva gaussiana, con un máximo, un mínimo y un número medio de fichas.

Creo que eso es todo. Si necesita más detalles, por favor deje un comentario, y los agregaré lo antes posible. Quiero agradecerles su interés, y todos los comentarios y respuestas anteriores. Espero que sus estadísticas puedan ayudarme a resolver esto. :D

Saludos cordiales,

Giorgio.

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La vieja pregunta:

Me gustaría calcular o aproximar la probabilidad que tengo de ganar un torneo donde cada jugador tiene una cantidad determinada de fichas.

Consideremos un escenario en el que hay 9 jugadores y conozco el número de fichas de cada uno, para calcular mi probabilidad de ganar haría: mis fichas/(tot chips - mis fichas).

Ahora imagina que esos 9 jugadores son puestos en 3 mesas diferentes de 3 jugadores cada una, y yo conozco las fichas sólo de los 2 jugadores de mi mesa y la mía obviamente. También sé el número total de fichas, la cantidad máxima y mínima de fichas que tienen los jugadores y el promedio de la pila.

¿Es posible hacer una aproximación de mi probabilidad de ganar?

Sólo tengo habilidades matemáticas básicas pero creo que la pila de jugadores podría aproximarse a una curva gaussiana, y luego usar algún "truco estadístico" para calcular mi probabilidad.

¡Gracias de antemano por cualquier pista!

Saludos cordiales, Giorgio

Answer 1

El modelo descrito en los enlaces no es el modelo de difusión. El modelo que se intenta aplicar se llama Modelo de Chip Independiente o MCI. Dan diferentes estimaciones para su cuota esperada de premios de segundo y menor lugar. Aquí hay dos formas de describir el MCI:

(1) Determine el ganador de manera que la posibilidad de ganar de cada jugador sea proporcional a su número de fichas. A continuación, elimine las fichas de ese jugador y determine el segundo clasificado de forma que la posibilidad de que cada uno de los no ganadores quede en segundo lugar sea proporcional a su número de fichas. Repita la operación.

(2) Retira las fichas al azar de una en una para que cada ficha restante tenga la misma oportunidad de ser retirada a continuación. Cuando se retire la última ficha, estarás eliminado.

No es obvio que sean el mismo modelo. De hecho, está claro que la primera descripción sólo depende de la proporción de fichas, y no requiere que el número de fichas sea un número entero. No es obvio que el segundo método dé la misma oportunidad de quedar en segundo lugar si las pilas son $(100,200,300)$ en cuanto a $(1,2,3)$ . (En otros modelos, estas situaciones son diferentes.) Sin embargo, se puede ver que son equivalentes (cuando ambos están definidos) por una tercera descripción:

(3) Cada jugador marca todas sus fichas. Luego se barajan y se ordenan. Los jugadores se ordenan por sus fichas más altas.

La descripción (1) corresponde a mirar la parte superior de la ordenación. La descripción (2) corresponde a mirar la parte inferior.

Puede encontrar mucha información sobre el modelo de fichas independientes en la web porque lo utilizan los jugadores de póquer de torneos serios, en particular los que juegan torneos Sit-N-Go (SNG)/Single Table (STT). Vea, por ejemplo, esta calculadora de equilibrio de Nash para las decisiones de empuje/repliegue en los STT que utiliza el MCI. Hay otros modelos como el de difusión, pero el Modelo de Chip Independiente parece suficientemente bueno y es más fácil de calcular. Puede encontrar una sección sobre el MCI en mi libro, Las matemáticas del Hold'em Y también he hecho vídeos sobre ella para sitios de instrucción de póquer.

Una de las otras respuestas pregunta por qué molestarse ya que todo es suerte. Entendiendo la equidad asumiendo que no tienes ventaja de habilidad (pero los stacks no son iguales) es como muchos jugadores de póker serios OBTIENEN una ventaja. Ir al all-in con un $60\%$ oportunidad de ganar y un dinero muerto insignificante es a veces genial, y a veces terrible. La equidad dice cuál. Además, si diriges un servidor de póquer, tienes que estar preparado para dividir el dinero de los premios de forma justa en caso de que el servidor se caiga durante el torneo. Un servidor de póker me pidió ayuda con esto.

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Como ha señalado, una implementación ingenua que calcule su posibilidad de colocar $p$ de $n$ los jugadores suman a lo largo de muchos plazos, $(n-1) \times (n-2) \times ... \times (n-p) = \frac{(n-1)!}{(n-p-1)!}$ . Esto puede ser demasiado grande en la práctica. Una mejora que utilizo en mi programa Explorador ICM es memorizar las probabilidades con cada subconjunto de hasta $p-1$ Los opositores se han retirado. Si se calcula cada probabilidad, esto toma $n 2^{n-1}$ pasos en lugar de $(n-1)!$ que marca la diferencia entre poder calcular el caso $n=10$ nítidamente, y si puede calcular el caso $n=20$ en menos de un segundo frente a no hacerlo.

Si se repiten los tamaños de pila entre los oponentes, se puede recordar cuántos de ellos han sido eliminados en lugar de qué subconjunto. Esto es especialmente útil cuando se analizan torneos multimodales en los que sólo se ven los stacks de la propia mesa, o sólo unos pocos corredores, y se asume que todos los demás que no se ven tienen el mismo tamaño de stack. Esto hace que el cálculo de la equidad sea factible para los torneos grandes. Este método tiene una complejidad aproximadamente igual a $k \prod_{i=1}^k (m_i+1)$ donde hay $k$ diferentes tamaños de pila entre sus oponentes cuyas multiplicidades son $m_1, ... ,m_k$ .

Hay una aplicación Conozco el que permite al usuario calcular la equidad ICM para los torneos multimodales. Este utiliza una simulación. El autor me aseguró que converge rápidamente dentro de un $0.1\%$ oportunidad para cada lugar. En caso de que necesite más precisión, un sencillo método de reducción de la varianza funciona muy bien: Estime su suerte de ser elegido o no para terminar a continuación en cada paso por los cálculos exactos con menos tamaños de pila distintos. Resta esta estimación de la suerte (un vector) del vector de probabilidades obtenidas en la simulación.

Por ejemplo, suponga que su pila es $1000$ y tienes $2$ oponentes con pilas de $500$ y uno con $1500$ .

Si uno de los jugadores con $500$ gana, sus oponentes restantes tendrán un promedio de $1000$ Así que estimas tus posibilidades usando el ICM asumiendo exactamente $2$ oponentes con $1000$ patatas fritas. Como todas las pilas serían iguales, por simetría todas $3$ los jugadores tendrían las mismas posibilidades de terminar en segundo, tercer y cuarto lugar, por lo que su distribución de lugares sería $(0,1/3,1/3,1/3)$ .

Si el gran stack gana, sus oponentes restantes promedian $500$ y el ICM dice que su distribución de lugares es $(0,1/2,1/3,1/6)$ .

Si ganas, obviamente tu distribución de lugares es $(1,0,0,0)$ .

La media ponderada es

$$\frac{1000}{3500}(0,1/3,1/3,1/3) + \frac{1500}{3500}(0,1/2,1/3,1/6) + \frac{1000}{3500}(1,0,0,0) = (2/7,13/42,5/21,1/6).$$

Por lo tanto, si en su juicio, usted gana, entonces usted estima su suerte para ese paso por $(1,0,0,0) - (2/7,13/42,5/21,1/6)$ y restarlo del resultado de la prueba. Si la pila grande gana, la prueba no ha terminado, pero se estima la suerte para este paso por $(0,1/2,1/3,1/6)-(2/7,13/42,5/21,1/6)$ y restar ésta y las futuras estimaciones de suerte del resultado del ensayo.

La estimación de la suerte es un promedio de $(0,0,0,0)$ y reduce en gran medida el número de pruebas necesarias para alcanzar un determinado nivel de precisión, sobre todo para los puestos más cercanos al primero, que son los más importantes para estimar su parte justa del dinero del premio.

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La distribución de los otros stacks importa, pero salvo en situaciones extremas, sólo se ve un gran efecto si se está cerca del "dinero", lo que significa que hay como mucho unos pocos jugadores más que premios. Supongamos que la estructura de premios es la que utiliza PokerStars para $180$ torneos de jugadores: $0.3, 0.2, 0.119, 0.08, 0.065, 0.05, 0.035, 0.026, 0.017$ para los lugares $1-9$ y un piso $0.012$ para los lugares $10-18$ .

Consideremos $2$ pares de situaciones. En primer lugar, usted es uno de $180$ pilas iguales. Su equidad es $1/180$ de la bolsa de premios, o $0.5556\%$ . Supongamos que has doblado, eliminando a un jugador, y que tienes $178$ opositores con una pila la mitad de grande que la tuya. Según el ICM, tu posibilidad de terminar en primer lugar es $1.1111\%$ , segundo $1.1049\%$ , ... $18$ th $1.0056\%$ para un capital de $1.0917\%$ . El cociente $0.5556/1.0917 = 50.887\%$ es la cantidad de capital que necesitas para querer entrar sin dinero muerto con $180$ pilas iguales.

Supongamos que hay $60$ jugadores con una pila igual a la tuya (incluido tú), $60$ con la mitad de su pila, y $60$ con la mitad de su pila. Según el ICM, tu capital es $0.5572\%$ de la bolsa de premios. A continuación, supongamos que se dobla contra una pila igual. Su capital aumenta a $1.0948\%$ de la bolsa de premios. La equidad que necesita para arriesgar la eliminación para esto es $0.5572/1.0948 = 50.894\%$ .

Tu parte esperada del dinero del premio no dependía mucho de los stacks de los otros jugadores, y la equidad que necesitas para arriesgar todo tu stack dependía aún menos de los stacks de los otros jugadores. Estos se vuelven sensibles a los stacks de tus oponentes una vez que bajas a unos $25-30$ jugadores que quedan con $18$ premios.

Answer 2

¿Los jugadores siguen jugando hasta que se quedan sin fichas? Supongamos que los jugadores A B C tienen cada uno un cierto número de fichas y siguen jugando hasta que tienen 0. Supongamos además que las probabilidades de ganar una mano son 1/3, 1/3, 1/3 o algún otro valor (según el comentario de Michelle sobre la habilidad). Supongamos además que cada bote consiste en ganar (+2) o perder (-1), una suposición poco realista pero simplificadora. Entonces, ¿no se convierte esto en una cuestión de la probabilidad relativa de llegar a 0 primero? Hay literatura con la que no estoy muy familiarizado que trata de esto (apuestas Martingale, pero sin las apuestas crecientes). Con varias mesas, con un fondo de fichas igual por mesa y un ganador por mesa, la segunda ronda sería p=1/3.

Más: Hice algunas simulaciones rápidas a lo largo de estas líneas. Cada jugador tiene la misma habilidad. A siempre comienza con el 50% de las fichas, B 1/3 de las fichas y C 1/6 de las fichas. Sólo varié el número total de fichas. Hice 3 ejecuciones en 3 niveles, cada una de las cuales consistía en 2000 simulaciones hasta que sólo quedaba un jugador (18.000 simulaciones en total). Esto sugiere que, efectivamente, podría ser tan simple como p(gano) = mi proporción de fichas.

Answer 3

Sospecho que estás haciendo esto más complejo de lo necesario. Si hay 27 millones de jugadores (o incluso 27 mil - creo que tienes una errata) y el juego es puro azar y podemos suponer razonablemente que ningún jugador tiene un número significativo de fichas en comparación con el número total de fichas...

Entonces tu oportunidad de ganar es: $\frac{my chips} {total chips}$

Su cambio de quedar en segundo lugar, dado que no ganó, es: $\frac{mychips}{totalchips-winnerchips}$ que es efectivamente lo mismo que su probabilidad de ganar. Y así sucesivamente.

Teniendo en cuenta el gran número de personas implicadas y si, como dices, todo es casualidad, dudo que merezca la pena hacer un cálculo más sofisticado. El secreto de los "trucos estadísticos" es saber cuándo utilizar una aproximación :-)