Saturado ideal

Question

Deje $k$ ser un campo, vamos a $I \triangleleft k[X_1,\dots,X_n]=S$ ser un ideal y corregir $f \in S$.

Se satura el ideal de $I$$I^{sat}=I:f^\infty=\{g \in S \mid \exists m \in \mathbb{N} \ s.t. \ f^mg \in I \}=\displaystyle\bigcup_{i \geq 1} I:f^i$.

Demostrar que $I^{sat}=I:f^m \Leftrightarrow f^m=f^{m+1}$.

Mi intento:

"$\Rightarrow$" Desde que tenemos el ascendente de la cadena de $I:f \subseteq I:f^2 \subseteq \dots$ $S$ es Noetherian, se deduce que el $m$ que estamos buscando es exactamente el que se detiene la cadena, es decir, la de que en todos los ideales en la cadena son iguales. De$I^{sat}=\displaystyle\bigcup_{i \geq 1} I:f^i$,$I^{sat}=I:f^m$.

"$\Leftarrow$" Tenemos que demostrar que todos los ideales de a$I:f^q$$I:f^m$, es decir, la cadena se detiene después de $m$ pasos. Tenemos que demostrar $\{g \in S \mid f^mg \in I \} = \{h \in S \mid f^{m+1}h \in I \}$. "$\subseteq$" es claro, a partir de la cadena.

¿Qué acerca de la inversa de la inclusión? Parece que va en círculos, así que debe ser algo fácil que no veo.

Gracias.