¿Qué significa?

Question

Me gustaría saber lo que significa estos exponentes fraccionarios en un operador de #% % derivados #%. Como he visto $\frac{d}{dx}$ pero no sé qué $\frac{d^2}{dx^2}$ significa.

Answer 1

Lo que tienes es lo que se conoce generalmente como un semiderivative. Yo diría que esta notación es un poco incompleta, ya que también se debe tener en cuenta para el límite inferior, en el caso de differintegrals cuyas órdenes no son números enteros no negativos.

En particular, dejando ${}_a D_x^{1/2}f(x)$ ser el semiderivative, una posible definición es la de Riemann-Liouville forma,

$${}_a D_x^{1/2}f(x)=\frac{f(a)}{\sqrt{\pi(x-a)}}+\frac1{\sqrt\pi}\int_a^x \frac{f^\prime(t)}{\sqrt{x-t}}\mathrm dt$$

El semiderivative operador puede ser pensado de esta manera: este es el operario que, cuando se aplica a una función dos veces, da la ordinaria (de primer orden) de derivados.

Si usted desea aprender más acerca de esto, yo sugeriría recoger Oldham/Spanier de Las fracciones de Cálculo.

Answer 2

$\frac{d^\frac{1}{2}}{dx^\frac{1}{2}}$ es el operador tal que $\frac{d^\frac{1}{2}}{dx^\frac{1}{2}}$$\frac{d^\frac{1}{2}}{dx^\frac{1}{2}}$ = $\frac{d}{dx}$, es decir. $\frac{d^\frac{1}{2}}{dx^\frac{1}{2}}$$\frac{d^\frac{1}{2}}{dx^\frac{1}{2}}f$ = $\frac{d}{dx}f$ diferenciable funciones $f$, al igual que cómo $\frac{d^2}{dx^2}=\frac{d}{dx}\frac{d}{dx}$. Básicamente es la raíz cuadrada de $\frac{d}{dx}$. Por ejemplo, $\frac{d^\frac{1}{2}}{dx^\frac{1}{2}}e^{ax}=\sqrt{a}e^{ax}$, desde entonces $\frac{d^\frac{1}{2}}{dx^\frac{1}{2}}\sqrt{a}e^{ax}=ae^{ax}=\frac{d}{dx}e^{ax}$.