Puede una suma de un número finito de raíces cuadradas de números enteros es un entero? Si es así puede una suma de dos raíces cuadradas de números enteros es un entero?
La plaza de las raíces necesitan ser irracional.
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¿Demasiados anuncios?
Creo que este enlace es una buena respuesta a su pregunta. Sin embargo, podría estar a un nivel que es muy avanzado para ti, ya que esta es una bonita pregunta natural relativamente temprano en la vida, pero se necesita un poco significativamente más difícil de las matemáticas para probar.
El directo, sí/no respuesta a la pregunta es "Sí, pero sólo si los números en el interior de la plaza de las raíces ya estaban cuadrados perfectos," o, equivalentemente, "Si ya has hecho todo la simplificación de que usted puede hacer, entonces no".
Rob Dickerson
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758
Al menos no hay un modo elemental a ver que si $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ es un número entero, entonces $a$ $b$ son cuadrados perfectos.
Supongamos $\sqrt{a} + \sqrt{b} = c\in\mathbb{Z}.$ Si $c=0$ el resultado es trivial. De lo contrario, el cuadrado ambos lados obtenemos que $$a + b + 2\sqrt{ab} = c^2$$ y, por tanto, $ab$ debe ser un cuadrado perfecto. Vamos a decir $ab = d^2$. A continuación, $a=\frac{d^2}{b}$ y \begin{align*}\frac{d}{\sqrt{b}} + \sqrt{b} &= c\\ d + b &= c\sqrt{b}, \end{align*} por lo $b$ es un cuadrado perfecto, y $a$ debe ser así.
Anthony Shaw
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858
Supongamos que $a,b,\sqrt a+\sqrt b\in\mathbb Z$.
$(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a-\sqrt b)=a-b\in\mathbb Z$. Desde $\sqrt a-\sqrt b=\frac{a-b}{\sqrt a+\sqrt b}\in\mathbb Q$. Por lo tanto, $\sqrt a-\sqrt b$ algebraica de un número entero y racional; por lo tanto, $\sqrt a-\sqrt b\in\mathbb Z$.
Siguiente, $(\sqrt a+\sqrt b)+(\sqrt a-\sqrt b)=2\sqrt a\in\mathbb Z$$(\sqrt a+\sqrt b)-(\sqrt a-\sqrt b)=2\sqrt b\in\mathbb Z$. Por lo tanto, $\sqrt a$ $\sqrt b$ son algebraica de los números enteros y racionales, por lo tanto,$\sqrt a,\sqrt b\in\mathbb Z$.
Por lo tanto, $a,b,\sqrt a+\sqrt b\in\mathbb Z\Rightarrow\sqrt a,\sqrt b\in\mathbb Z$
thorb65
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111
Sí. Por ejemplo, 8 tiene dos raíces cuadradas: $\sqrt 8$$-\sqrt 8$. Estos se añaden a cero, que es un entero.
Lo mismo sucede con el orden superior de las raíces en el plano complejo. Cuando añadimos las raíces de un número de conjunto, nos da cero. Esto es debido a que se forman igualmente distribuido puntos sobre el círculo unidad en el plano complejo, y por lo tanto, si las consideramos como vectores, podemos ver fácilmente que se cancelan en virtud de la adición.
