Discriminante de un campo casi ciclotómicas

Question

Que $k$ ser positiva incluso entero libre de cuadrados y que %#% $ #%

Se trata de la extensión abeliana maximal de %#% en $$L:=\mathbb{Q}(\zeta_k,\sqrt{2}).$ #%. Gustaría preguntar si existe una fórmula explícita para el discriminante de $L$ solamente en términos de $\mathbb{Q}(\zeta_k,2^{\frac{1}{k}})$, como el que es dado aquí por ejemplo.

Answer 1

Si $k$ es squarefree e incluso entonces $L = \mathbf{Q}(\zeta_{k/2}, \sqrt{2})$, por lo tanto $L$ es la fijación de la forma lineal discontinuo (sobre campos $\mathbf{Q}$) $K_1 = \mathbf{Q}(\zeta_{k/2}) = \mathbf{Q}(\zeta_k)$ y $K_2 = \mathbf{Q}(\sqrt{2})$. Puesto que los discriminantes son relativamente prime (sólo números primos impares se ramifican en $K_1$ y $K_2$ se ramifican en 2), existe una fórmula explícita para el discriminante de la exclusión, es decir, $D_L = (D_{K_1})^{[K_2:\mathbf{Q}]} (D_{K_2})^{[K_1:\mathbf{Q}]}$, CF. proposición I.2.11 en de Neukirch Teoría del número algébrico.

Para ser más explícito, el discriminante de $L$ es %#% $ #%