visualizar lo que sucede en la teoría de la homotopía basada, et al.

Question

Estoy leyendo el libro de J.P. May Curso conciso de topología algebraica y tengo muchos problemas para visualizar cómo funcionan las cosas en el capítulo 8, "Cofibras y secuencias de fibras basadas". Por supuesto, se trata de cosas bastante básicas, pero me parece realmente genial que haya análogos topológicos tan claros a las secuencias exactas habituales en el álgebra homológica. Aun así, no puedo ni siquiera hacerme una idea clara de cómo es un producto de choque para cualquier espacio que no sea el más básico, y los conos/suspensiones/espacios de bucle basados hacen que me duela la cabeza.

a) ¿Estaré bien si en mi cabeza sólo pienso en un producto de tipo "smash" como un producto habitual (por ejemplo), entendiendo que tengo que añadir una condición extra que realmente no debería pensar demasiado?

b) ¿Por qué todo el alboroto sobre la teoría de la homotopía basada, de todos modos?

c) Ya que estoy en ello, ¿alguien puede sugerir un libro que sea menos escueto? Siento que este rara vez da la motivación y la intuición visual que me gustaría...

Answer 1

Otro libro con imágenes de suspensión reducida, etc., es Topology and Groupoids de Ronnie Brown. véase http://www.bangor.ac.uk/~mas010/topgpds.html . Que también es excelente para cosas no basadas.

No te creas todo lo que oyes sobre que el caso sin base es grotesco. Es bonito, pero posiblemente sea más fácil aprender Alg. Top. en la situación basada primero, especialmente si es que el alguien ha decidido que usted debe hacer. :-)

He puesto algo de material que podría ayudar (Homotopía abstracta...) en mi página de inicio de n-Lab (sigue los enlaces de Tim Porter (encontrados por una búsqueda)).

¡En el caso de a) tuve algo parecido a tu problema cuando empecé, pero luego pensé en el cilindro basado como un cilindro con una punta de base larga! Por supuesto, hay que aplastar esa línea hasta un punto. Es seguro cuando se mapea fuera de un smash retener el subespacio que va a ser squidged sólo siempre mapear todo a la base. (En otras palabras, no te preocupes por el smash en esta fase. Utilízalo como un dispositivo por el momento y después de que aprendas a usarlo y veas cómo se comporta su extrañeza probablemente se habrá disipado).

Answer 2

Tengo respuestas para b.) y c.).

b.) La razón por la que la homotopía basada es tan importante es que en la teoría de la homotopía no basada no hay una buena noción de grupo de homotopía. Ahora bien, puedes decir: "¿qué pasa con el grupo fundamental?", pero eso es algo engañoso. Para tratar realmente los grupos de homotopía superiores, se necesita de hecho la teoría de categorías superiores, y todas las complicadas nociones de equivalencia que conlleva. Así que si se trata de hacer clásico teoría de la homotopía, se necesita una base para tratar los datos de la homotopía superior.

c.) A mí me gusta mucho el libro de May, pero si quieres una buena imagen geométrica también, puede que quieras consultar Spanier o Hatcher como libro "compañero". También puedes consultar Switzer o Whitehead, pero están mucho menos centrados en los aspectos geométricos de la topología algebraica.