¿Hay más de $\beth_1$ no homeomórficos subespacios topológica de $\Bbb R$?

Question

Me han preguntado por un joven estudiante acerca de una determinada reclamación que había en una clasificación topológica de subconjuntos de a $\Bbb R$. La idea general era un poco borrosa, pero en retrospectiva, se giraba en torno a la toma de la $\sigma$-álgebra generada por seis (Borel) subconjuntos + traducciones. He conseguido (y, espero, instructiva) argumentaron en contra de ella. Sin embargo, esto me llevó a la pregunta:

Podría acabo de hacerla corta y de lujo con una cardinalidad argumento? Específicamente, si $\sim$ es el homeomorphism equivalencia en $\mathcal P(\Bbb R)$$\operatorname{card}\left(\mathcal P(\Bbb R)/\sim\right)>\beth_1$ ?

Intuitivamente, yo diría que sí, porque "hay $\beth_2$ desagradable no de los conjuntos de Borel". Y, "en chit-chat nivel, homeomorphisms $(a,b)\to(c,d)$ son monótonas funciones". Sin embargo, esto no es ni una prueba, ni una razón suficiente para que mi pregunta incluso a ser decidable en ZFC.

De hecho, sobre el tema he encontrado esta más débil hecho: "cerrado subconjuntos hasta homeomorphism son exactamente $\beth_1$".

Gracias por los enlaces y/o respuestas.

Answer 1

Cada subconjunto de $\mathbb{R}$ tiene una contables subconjunto denso. Si $X\subseteq\mathbb{R}$ $A\subseteq X$ es una contables subconjunto denso, un homeomorphism de $X$ a otro subconjunto $Y\subseteq\mathbb{R}$ está determinado por su restricción a $A$. Así que hay una inyección a partir del conjunto de homeomorphisms de $X$ a otros subconjuntos de a $\mathbb{R}$ para el conjunto de las funciones de$A$$\mathbb{R}$. Sólo hay $\beth_1$ funciones de $A$ $\mathbb{R}$desde $A$ es contable.

Para cada subconjunto de $\mathbb{R}$ puede ser homeomórficos que en la mayoría de las $\beth_1$ otros subconjuntos de a $\mathbb{R}$. Desde allí se $\beth_2>\beth_1$ diferentes subconjuntos de a $\mathbb{R}$, no debe ser $\beth_2$ diferentes homeomorphism clases de subconjuntos de a $\mathbb{R}$.