Cuestión de la integración

Question

Tengo problemas en la integración de la integral siguiente.

Agradeceria cualquier ayuda :D

$$\int_0^1 \sqrt{-\log x}\, a\, x^{a-1}dx$$

Montones de gracias :D

La respuesta es $\sqrt{\pi}/2(\sqrt{a})$.

Answer 1

Sugerencia: Que $x=e^{-t^2/2}$. ${}{}{}{}{}{}{}{}{}$

Answer 2

Sustituir $x=e^{-t}$ y transformar la integral en

$$a \int_0^{\infty} dt\: e^{-a t} \sqrt{t}$$

y expresarlo en términos de función Gamma mediante la sustitución de $u=a t$:

$$a \frac{1}{a} a^{-1/2} \int_0^{\infty} du \: u^{1/2} e^{-u} = a^{-1/2} \Gamma{\left(\frac{3}{2} \right)} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a}}$$