Prueba $x=2,y=4$ es la única solución para $x^y=y^x$ con la condición adicional que $x\ne y$ y $x,y$ son números enteros positivos (si $(x,y)$ es una solución, así que es $(-x,-y)$).
Idealmente estoy buscando una prueba muy simple - podemos agotar las posibilidades a continuación y otras posibilidades buscar remotas.
Registro en ambos lados y $$ \frac{\ln x} {x} = \frac {\ln y} {y} $ y tenga en cuenta que la función $f(t)=\frac{\ln t}{t}$ aumento de $t<e$ y disminución de $t>e$. Eso significa que si $x\neq y$, entonces uno de ellos debe ser menor que $e$. A partir de ahí otras soluciones del número entero pueden descartarse rápidamente.
Otra forma es dividir ambos lados por $x^x$, que $\displaystyle x^{y-x}=\left(\frac{y}{x}\right)^x$. Elevar ambos lados al poder de $\displaystyle \frac{1}{y-x}$ obtenemos $\displaystyle x=\left(\frac{y}{x}\right)^{\large \frac{x}{y-x}}=\left(\frac{y}{x}\right)^{\Large \frac{1}{\frac{y}{x}-1}}$. Ahora, $y=tx$ obtenemos $x=t^{\Large \frac{1}{t-1}} \Rightarrow y=t^{\Large \frac{t}{t-1}}$, por lo tanto, una solución es definir $\displaystyle (x,y)=\left(t^{\Large \frac{1}{t-1}},t^{\Large \frac{t}{t-1}}\right)$.
Queremos que x sea un entero. Si t-1 es mayor que 1 no puede ser un factor de t, así $\displaystyle \sqrt[t-1]{t}$ no puede ser un número entero. Esto implica que el $t-1=1$, $t=2$ así la única solución es $(2,4)$.
La ecuación es simétrica en términos de x e y, por lo que la otra solución posible es $(4,2)$.
$f(t) = \dfrac{\ln t}{t}\to f'(t) = \dfrac{1-\ln t}{t^2}>0 \iff e > t > 0$. De esto vemos eso si: $ t \geq 3 \Rightarrow f'(t) < 0 \Rightarrow f$ es estrictamente decreciente, y si $2 \geq t \geq 1 \Rightarrow f$ es estrictamente creciente. Todo esto significa que no hay más soluciones con $x \neq y$ excepto $(x,y) = (2,4),(4,2)$ que se ha encontrado.
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