La función $f(x)=\int_0^\infty\left|\sin(t)\cdot\sin(x\,t)\cdot e^{-t}\right|\,dt$

Question

Vamos $$f(x)=\int_0^\infty\Big|\sin(t)\cdot\sin(x\,t)\cdot e^{-t}\Big|\,dt,$$ donde $|\dots|$ indica el valor absoluto. Estamos preocupados sólo con valores positivos de $x$ (es decir, permitir que el dominio de la función se $\mathbb{R}^+$).

La gráfica de esta función se ve más o menos como sigue (modulo posibles errores numéricos algoritmos utilizados para la trama):

Los valores de la función en puntos racionales pueden ser evaluados en una forma cerrada, por ejemplo, $$f\left(\frac32\right)=\frac2{145}\left(24+\frac{27\,\sqrt3\,\left(e^{\frac\pi3}+e^{-\frac\pi3}\right)-24\,\left(e^{\frac\pi3}-e^{-\frac\pi3}\right)-4}{e^\pi-e^{-\pi}}\right).$$

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Preguntas:

• Es la función de $f(x)$ continua? Es suave? Es analítica?
• Cuántos extremos locales tiene?
• ¿Cuál es el $\lim\limits_{x\,\to\,\infty}f(x)$, si es que existe?
• Podemos encontrar una forma cerrada de valor de $f(x)$ a una explícita irracional punto (dado por una forma cerrada de la expresión)?
• Hay una fórmula general para los valores de $f(x)$ en puntos racionales?

Answer 1

Mi cálculo muestra que

$$f(x) = \frac{1}{\pi}\coth\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n^{2}x^{2} - 1) \sinh\pi + 2nx\sin (2\pi n x)}{(4n^{2} - 1)(4n^{4}x^{4} + 1) (\cosh \pi\cos (2\pi n x))}. \etiqueta{1} $$

Esto permite (al menos teóricamente) calcular el valor de $f$. Esto demuestra que

1. La serie $\text{(1)}$ define un holomorphic función, decir $\tilde{f}$, $\Bbb{C} \setminus \Bbb{R}$ con los polacos $$ \frac{\pm 1 \pm i}{2n} : n = 1, 2, \cdots \quad\text{y}\quad \frac{k}{n} \pm \frac{i}{2n} : k \in \Bbb{Z}, n = 1, 2, \cdots. $$ Debido a que estos polos se acumulan a $\Bbb{R}$$n\to\infty$, no estoy seguro de si $\tilde{f}$ $f$ puede ser fusionadas para producir una buena función.

2. Esta suma converge uniformemente en $\Bbb{R}$: poner a $y = nx$, $$ \left| \frac{(2n^{2}x^{2} - 1) \sinh\pi + 2nx\sin (2\pi n x)}{(4n^{4}x^{4} + 1) (\cosh \pi -\cos (2\pi n x))} \right| \leq \frac{(2y^{2} + 1)\sinh \pi + 2|y|}{(4y^{4}+1)(\cosh \pi - 1)}, $$ que es uniformemente acotada por una constante $C > 0$. Por lo tanto podemos tomar el límite de $x \to \infty$ pointwise a $\text{(1)}$, lo que demuestra que $$ \lim_{x\to\infty} f(x) = \frac{1}{\pi}\coth\left(\frac{\pi}{2}\right). $$

3. La gráfica de su derivada se muestra a continuación: yo soy incapaz de encontrar ningún patrón claro que los ceros de $f'(x)$ debe satisfacer. Una excepción es que algunos ceros parecen estar muy cerca de los números enteros.

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Para derivar $\text{(1)}$, sólo me explota la siguiente fórmula:

$$ \left| \sin x \right| = \frac{2}{\pi} \sum_{n \in \Bbb{Z}} \frac{1 - \cos(2nx)}{4n^{2} - 1}, \quad x \in \Bbb{R} $$

Ya que cada sumando es no negativo, Tonelli dice que podemos conectar este a la integral y el intercambio de la orden de la limitación de los operadores para obtener

$$ f(x) = \frac{4}{\pi^{2}} \sum_{m \in \Bbb{Z}} \sum_{n \in \Bbb{Z}} \frac{1}{(4m^{2}-1)(4n^{2} - 1)} \int_{0}^{\infty} (1 - \cos 2mt)(1 - \cos 2nxt) e^{-t} \, dt. $$

El cálculo de la integral y utilizando el hecho de $\sum_{n\in\Bbb{Z}} (4n^{2}-1)^{-1} = 0$, esto se reduce a

$$ f(x) = \frac{4}{\pi^{2}} \sum_{m \in \Bbb{Z}} \sum_{n \in \Bbb{Z}} \frac{1}{(4m^{2}-1)(4n^{2} - 1)(4(nx+m)^{2} + 1)}. $$

Una mayor simplificación, a continuación, da $\text{(1)}$.

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EDIT.

1. Numérico de observación sugieren que $f$$C^{2}(\Bbb{R}^{+})$, y la heurística de la investigación sugiere que $f^{(3)}$ tiene discontinuidad de salto en cada punto en $\frac{1}{2}\Bbb{Z} \cup \frac{1}{3}\Bbb{Z}$.

Answer 2

La fórmula general para el racional $x$ puede ser derivada como de la siguiente manera. Considerar, en primer lugar, una convergente suma de la forma $\sum_k \frac{p(k)}{q(k)}$, where $p$ and $p$ are polynomials, $\deg q\geq \deg p+2$, and $p$ only has simple roots. If $\rho$ es una variable que ejecuta a través de las raíces de $q$, luego $$ \frac1{q(x)} = \sum_{q(\rho)=0}\frac{1}{q'(\rho)}\frac1{x-\rho}, $$ por lo que la suma puede ser escrito como $$ \sum_k \frac{p(k)}{q(k)} = \sum_{q(\rho)=0} \frac1{q'(\rho)} \sum_k \frac{p(k)\bmod k-\rho}{k-\rho} + \lfloor p(k)/(k-\rho)\rfloor. $$ Ahora, $p(k)\bmod k-\rho = p(\rho)$ es una constante, $$ \sum_{k\geq0} \frac{z^k}{k-\rho} = \Phi(z,1,-\rho), $$ por definición de Lerch trascendente de la función, y el hecho de que la suma original es convergente nos asegura que podemos ignorar los términos de $\sum_\rho\frac{\lfloor p(k)/(k-\rho)\rfloor}{q'(\rho)}$, ya que necesariamente debe de suma cero.

Por lo tanto, desde el $\Phi$ tiene una expansión asintótica $$ \Phi(z,1,-\rho) = -\log(1-z) - \gamma - \psi(-\rho), $$ ($\gamma$ es de Euler gamma, y $\psi$ es la función digamma), y desde el hecho de que la suma original converge nos asegura que podemos ignorar todos los términos de $\Phi(z,1,-\rho)$ independiente de $\rho$ como tomar el límite de $z\to1-$ a recuperar la suma, por tanto, tenemos $$ \sum_{k\geq0} \frac{p(k)}{q(k)} = -\sum_{q(\rho)=0} \frac{p(\rho)}{q'(\rho)}\psi(-\rho). $$

La función de $f$ tiene la forma $$ f(x) = -\frac{\coth\frac\pi2}{\pi} + \frac2\pi\sum_{n\geq0} S(n, \sin(2\pi nx), \cos(2\pi nx)), $$ donde $S(n,\gamma,\delta) = \frac{p(n,\gamma)/q(n,\delta)}{\cosh\pi-\delta}$ es dado como en sos440 la respuesta $$ p(n,\gamma) = (2n^2x^2-1)\sinh\pi+2nx\gamma, \qquad q(n)=(4n^2-1)(4n^4x^4+1). $$

Al $x=r/s$ es racional, esto puede ser simplificado. La reescritura de la suma como $$ \sum_{n\geq0}S(n,\sin2\pi nx \cos2\pi nx) = \sum_{0\leq\alpha<s} \frac{1}{\cosh\pi\cos2\pi\alpha x} \sum_{m\geq0} \frac{p(ms+\alpha, \sin2\pi\alpha x)}{q(ms+\alpha)}, $$ y ahora el interior de la suma de $m$ es convergente suma de los términos racional en $m$, por lo que puede ser escrito como $$ \sum_{q(\rho)=0}\frac{-1}{q'(\rho)} \frac1{s} \sum_{0\leq\alpha<s} \frac{p(\rho \sin2\pi\alpha x)}{\cosh\pi\cos2\pi\alpha x} \psi\left(\frac{\alpha\rho}{s}\right), $$ donde $\rho$ ejecuta a través de las raíces de $q(n)$: $\{\pm\frac12, \frac{e^{\pi i j/4}}{x\sqrt{2}}\}$, $j$ impar.

Esto es casi una forma cerrada, es una suma finita de digamma términos, pero usted podría no ser capaz de simplificar mucho, especialmente por la mano. Para ejemplo, Mathematica da ahora: $$ f({\estilo de texto\frac52}) = \left( 68-68 \sqrt{5}-500 \sqrt{10-2 \sqrt{5}} \cosh\frac{\pi }{5}+272 \cosh\frac{2 \pi }{5}-\left(125 \sqrt{10-2 \sqrt{5}}+125 \sqrt{5 \left(10-2 \sqrt{5}\right)}\right) \cosh\pi\left(160+160 \sqrt{5}\right) \sinh\frac{\pi }{5}+160 \sinh\frac{3 \pi }{5}-160 \sinh\frac{7 \pi }{5} \right)/\left( 689(-1+\sqrt{5}-4 \cosh\frac{2 \pi }{5})\sinh\pi\right) $$