Si $a$ y $b$ son positivo números verdaderos tales que $a+b=1$, demostrar que $(a+1/a)^2+(b+1/b)^2\ge 25/2$

Question

Si $a$ y $b$ son positivo números verdaderos tales que $a+b=1$, demostrar que $$\bigg(a+\dfrac{1}{a}\bigg)^2+\bigg(b+\frac{1}{b}\bigg)^2\ge \dfrac{25}{2}.$ $

Mi trabajo:
$$\bigg(a+\dfrac{1}{a}\bigg)^2+\bigg(b+\dfrac{1}{b}\bigg)^2\ge \dfrac{25}{2}\implies a^2+\dfrac{1}{a^2}+b^2+\dfrac{1}{b^2}+4\ge \dfrac{25}{2}$ $, Tenemos $a^2+\dfrac{1}{a^2}\ge 2$ y $b^2+\dfrac{1}{b^2}\ge 2$.
Aquí, estoy atrapado, no puedo utilizar la información proporcionada, $a+b=1$ para cualquier uso. Por favor ayuda!

Answer 1

QM-AM, $\displaystyle a^2+b^2 \geq \frac{1}{2}(a+b)^2 = \frac{1}{2}$. QM-AM da otra vez $\displaystyle \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} \geq \frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2$. Por AM-HM, $\displaystyle \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \frac{a+b}{2} = \frac{1}{2}$, donde $\displaystyle\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \geq 4$ y así $\displaystyle \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} \geq 8$. Por lo tanto tenemos %#% $ #%

Answer 2

Sugerencia: Sustituya $a=\frac{1}{2}+x$ y $b=\frac{1}{2}-x$, $|x|<\frac{1}{2}$. Entonces sólo se debe encontrar el mínimo de una función variable un $f(x)$.

Voy a escribir toda la solución, tal vez alguien lo encuentra útil. Después de la sustitución obtenemos:

$(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2=\frac{9}{2}+2x^2+\frac{\frac{1}{2}+2x^2}{(\frac{1}{4}-x^2)^2}=f(x)$.

Desde $x^2\geqslant0$, obtenemos que $f(x)\geqslant\frac{9}{2}+\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{16}}=\frac{25}{2}$. Igualdad: para $x=0$ o $a=b=\frac{1}{2}$.