Suma infinita de elementos en un campo finito

Question

Esto es un poco de una curiosidad que me intriga. Deje $p$ ser una de las primeras y considerar la suma de los recíprocos de los cuadrados divisible por $p$. Esto es sólo $$ \dfrac{1}{p^2}\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{\pi^2}{6p^2}. $$ Entonces la suma de los recíprocos de los cuadrados no divisible por $p$ es $$ S = \sum_{\substack{n=1\\ p \nmid n}}^\infty \dfrac{1}{n^2}= \sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^2} - \dfrac{\pi^2}{6p^2} = \dfrac{\pi^2}{6} \left( 1 - \dfrac{1}{p^2} \right). $$ Ahora, aquí hay un poco de problemas (al menos para mí). Podemos ver los términos de $S$ como elementos en el campo de $\mathbb{F}_p$. De hecho, no hay división por la característica del campo, $p$. Dado que el campo es cerrado bajo la suma, la adición de cada término es un elemento del campo. Por lo tanto, la adición de cada elemento en la suma da un elemento en el campo. Sin embargo $\frac{\pi^2}{6} ( 1 - \frac{1}{p^2} )$ está claro que no es un elemento de $\mathbb{F}_p$.

Creo que el problema radica en que el límite de las sumas parciales no existe modulo $p$, al menos en este caso. Sin embargo, hay instancias en las que tiene sentido agregar un número infinito de elementos de un campo finito, digamos tal vez cuando la secuencia de términos tiene período finito? Gracias

Answer 1

Como @AviSteiner tiene notas, infinitas sumas de dinero se define en términos de la convergencia de las sumas parciales. El debate de la convergencia de las secuencias requiere de una topología. Además, una secuencia convergente es no garantiza la convergencia a un único punto, a menos que la topología es Hausdorff. Pues espero que te gustaría decir que tu infinita suma de puntos en el campo converge a algo único (siempre que converge en todos), se debe hacer la topología en nuestro campo finito Hausdorff. Por cierto, la única Hausdorff topología sobre un conjunto finito es discreto. En la topología discreta, la única secuencias convergentes son constantes después de un tiempo. Esto conduce a una bastante decepcionante respuesta: con el fin de garantizar una solución única para su serie, debes de tener todos, pero un número finito de términos de la serie son la identidad aditiva.

Answer 2

Alex S ya expliqué el problema con la definición de convergencia de una infinita suma. Permítanme suplemento que con el siguiente bien conocida simple hecho.

Suponga que $p>3$. A continuación, el número de no-cero cuadrados módulo $p$$(p-1)/2>1$. Esto significa que las plazas de forma no trivial subgrupo de $\Bbb{F}_p^*$. Para hacer su recíproco (de hecho es el mismo subgrupo). En un campo de la suma de los elementos de un no-trivial finito subgrupo del grupo multiplicativo $G$ es siempre cero. Esto es porque si $a\in G, a\neq1$, luego $$ S:=\sum_{x\in G}x=\sum_{a^{-1}x\in G}x=\sum_{y\in G}ay=como. $$ Por lo tanto $(a-1)S=0$ lo que implica la reclamación.

En el caso de que esto significa que para todos los enteros $k$ hemos $$ \sum_{n=kp+1}^{(k+1)p-1}\frac1{n^2}=0\en\Bbb{F}_p. $$

Si $p=3$ o $p=2$, podemos comprobar fácilmente que la suma de cualquier rango correspondiente es $\equiv-1\pmod p$. Va más de las $p$ de esos rangos, a continuación, contribuye en algo a $\equiv0\pmod p$ en estos casos.

Así, en todos los casos, la secuencia de sumas parciales es periódica. La duración del período es $4$, $9$ o $p$ dependiendo de si $p=2,3$ o $>3$.